高考数学真题录

高考理数函数与导数大题：北京卷2011~2022年

2022-12-05 本文已影响0人易水樵

2011年理数北京卷题18

分值：13分

已知函数 $f(x)=(x-k)^2 \mathrm{e} ^ \frac{x}{k}$ .

（I）求 $f(x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的 $x \in (0,+\infty)$ ，都有 $f(x) \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ ，求 ${k}$ 的取值范围.

2012年理数北京卷题18

分值：13分

已知函数 $f(x)=ax^2+1(a \gt 0)$ ， $g(x)=x^3+bx$ .

（I）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点 $(1,c)$ 处具有公共切线，求 $a,b$ 的值；

（Ⅱ）当 $a^2=4b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty,-1]$ 上的最大值.

2013年理数北京卷题18

分值：13分

设 $L$ 为曲线 $C:y=\dfrac{\ln x}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的切线.

（Ⅰ）求 $L$ 的方程；

（Ⅱ）证明：除切点 $(1,0)$ 之外, 曲线 $C$ 在直线 $L$ 的下方.

2014年理数北京卷题18

分值：13分

已知函数 $f(x)=x\cos x -\sin x, x \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$ .
（Ⅰ）求证： $f(x) \leqslant 0$ ；

（Ⅱ）若 $a \lt \dfrac{\sin x}{x} \lt b$ 对 $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ 恒成立, 求 $a$ 的最大值与 $b$ 的最小值.

2015年理数北京卷题18

分值：13分
已知函数 $f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$ .

（Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当 $x \in (0,1)$ 时, $f(x) \gt 2(x+\dfrac{x^3}{3})$ ；

（Ⅲ）设实数 $k$ 使得 $f(x) \gt k(x+\dfrac{x^3}{3})$ 对 $x \in (0,1)$ 恒成立, 求 $k$ 的最大值.

2016年理数北京卷题18

分值：13分
设函数 $f(x)=xe^{a-x} +bx$ , 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y=(\mathrm{e}-1)x +4$ .

（Ⅰ）求 $a,b$ 的值；

（Ⅱ）求 $f(x)$ 的单调区间.

2017年理数北京卷题19

分值：13分

已知函数 $f(x)= \mathrm{e} ^x \cos x -x$ .

（Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(x))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ 上的最大值和最小值.

2018年理数北京卷题18

分值：13分

设函数 $f(x)= [ax^2 -(4a+1)x +4a +3 ] \mathrm{e} ^x$ .

（Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行, 求 $a$ ；

（Ⅱ）若 $f(x)$ 在 $x =2$ 处取得极小值, 求 $a$ 的取值范围.

2019年理数北京卷题19

分值：13分

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3 - x^2 +x$ .

（Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程；

（Ⅱ）当 $x \in [-2,4]$ 时, 求证： $x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ;

（Ⅲ）设 $F(x)= |f(x)-(x+a)| (a \in \mathbf{R})$ , 记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M(a)$ . 当 $M(a)$ 最小时, 求 $a$ 的值.

2020年理数北京卷题19

分值：15分

已知函数 $f(x)=12-x^2$ .

（Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 $-2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ , 求 $S(t)$ 的最小值.

2021年理数北京卷题19

分值：15分

已知函数 $f(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}$ .

（Ⅰ）若 $a=0$ , 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数 $f(x)$ 在 $x =-1$ 处取得极值, 求 $f(x)$ 的单调区间, 以及最大值和最小值.

2022年理数北京卷题20

分值：15分

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \ln(1+x)$ .

（Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $g(x)=f'(x)$ , 讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意的 $s,t \in (0,+\infty)$ , 有 $f(s+t)\gt f(s) + f(t)$ .

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