高考数学全国卷大题：三角综合

2021-01-08 本文已影响0人易水樵

收录高考真题16道。

2011年理科数学大纲卷题17（本题满分10分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $A-C=90^{\circ}$ , $a+c=\sqrt{2} \, b$ , 求 $C$ .

参考答案：2011年理数大纲卷题17

2012年理科数学大纲卷题17（本题满分10分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\cos (A-C)+\cos B=1, a=2 c$ ，求 $C$ .

参考答案：2012年理数大纲卷题17

2012年理科数学全国卷B题17（本题满分12分）

已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对边， $a \cos C+\sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ .

（I）求 $A$ ；

（II）若 $a=2$ ， $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b,c$ .

参考答案：2012年理数全国卷B题17

2013年理科数学全国卷A题17（本题满分12分）

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=90°, AB=\sqrt{3},BC=1,P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点， $\angle BPC=90°.$

（Ⅰ）若 $PB=\dfrac{1}{2}$ ，求 $PA$ ；

（Ⅱ）若 $\angle APB = 150°$ ，求 $\tan \angle PBA$ 。

参考答案：2013年理数全国卷A题17

2013年理科数学全国卷B题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $a = b \cos C+c \sin B$

（I）求 $B$ ；

（II）若 $b=2$ ，求 $\triangle ABC$ 的面积最大值.

此题可以追加一问：

（附加问题Ⅲ）若 $b=2$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长最大值.

完成以上问题后，请对比以下两题：【2020年全国卷二题17】，【2013年理科数学全国卷二题17】

参考答案：依葫芦画瓢学习「函数思想」

2015年理科数学全国卷B题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 中， $D$ 是 $BC$ 上的点， $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 2 倍.

（I）求： $\dfrac {\sin \angle B} {\sin \angle C}$

（II） $A D=1, D C=\dfrac {\sqrt{2}} {2}$ , 求 $BD$ 和 $AC$ 的长.

参考答案：如何列方程？

2016年理科数学全国卷A题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $2 \cos C(a \cos B+b \cos A)=c$ .

（I）求 $C$ ；

（II）若 $c=\sqrt{7}$ ， $\triangle ABC$ 的面积为 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

参考答案：2016年理数全国卷A题17

2017年理科数学全国卷A题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\displaystyle\frac{a^{2}}{3 \sin A}$

（I）求 $\sin B \sin C$ ；

（II）若 $6 \cos B \cos C=1, a=3$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

参考答案：2017年理数全国卷A题17

2017年理科数学全国卷B题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\sin ( A+C ) = 8 \sin ^{2} \displaystyle\frac{B}{2}$

（I）求 $\cos B$ ；

（II）若 $a+c=6$ ， $\triangle ABC$ 的面积为 $2$ ，求 $b$ .

参考答案：2017年理数全国卷B题17

2017年理科数学全国卷C题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\sin A + \sqrt{3} \cos A=0, a=2 \sqrt{7}, b=2$ .

（1）求 $c$ ；

（2）若 $D$ 为 $BC$ 边上一点，且 $A D \perp A C$ ，求 $\triangle ABD$ 的面积.

参考答案：2017年理数全国卷C题17

2018年理科数学全国卷A题17（本题满分12分）

在平面四边形 $ABCD$ 中， $\angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, BD=5$

（1）求 $\cos \angle ADB$ ；

（2）若 $D C=2 \sqrt{2}$ ，求 $BC$ .

参考答案：2018年理数全国卷A题17

2019年理科数学全国卷A题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，设 $( \sin B - \sin C ) ^2 = \sin ^{2} A-\sin B \sin C$

（1）求 $A$ ；

（2）若 $\sqrt{2} a + b = 2c$ ，求 $\sin C$ .

参考答案：2019年理数全国卷A题17

2019年理科数学全国卷C题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $a \sin {\displaystyle\frac{A+C}{2} } = b \sin A$ .

（1）求 $B$ ；

（2）若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围.

参考答案：2019年理数全国卷C题17

2020年全国卷B题17（本题满分12分）

$\triangle ABC$ 中， $\sin ^2 A - \sin ^2 B - \sin ^2 C = \sin B \sin C$ .

（1）求 $A$ ；

（2）若 $BC=3$ ，求 $\triangle ABC$ 周长的最大值.

参考答案：2020年理数全国卷B17

2012年理数福建卷题17（本题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

$(1) \sin ^{2} 13°+\cos ^{2} 17°-\sin 13° \cos 17°$

$(2) \sin ^{2} 15°+\cos ^{2} 15°-\sin 15° \cos 15°$

$(3) \sin ^{2} 18°+\cos ^{2} 12°-\sin 18° \cos 12°$

$(4) \sin ^{2}(-18°)+\cos ^{2} 48°-\sin (-18°) \cos 48°$

$(5) \sin ^{2}(-25°)+\cos ^{2} 55°-\sin (-25°) \cos 55°$

（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II）根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

参考答案：2012年理数福建卷题17

2013年福建卷题21

在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中， $\angle POQ=90°,OP=2\sqrt{2}$ ，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上.

（1）若 $OM=\sqrt{5}$ ，求 $PM$ 的长.

（2）若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON=30°$ ，问：当 $\angle POM$ 取何值时， $\triangle OMN$ 的面积最小？并求出面积的最小值。

参考答案：2013年福建卷题21