数学模型——实验建模

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通过已知数据，尝试拟合的方程
对于 $y$ ：采用阶梯向下代替，例： $log_2y, 1/y,1/y^2$ 等
对于 $x$ ：采用阶梯向上代替，例： $x^2,x^3$ 代替
或者是两者相反，x用阶梯向下，y用阶梯向上。
通过不断尝试，从而找到近似拟合方程的结构式（可以用最小二乘准则确定）

高阶多项式模型

根据因变量个数 $\rightarrow$ 确定多项式最高阶
即多项式 $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}$
将所有数据带入 $P(x)$ 计算 $\rightarrow$ 确定 $a_0-a_{n-1}$ 的值

多项式的拉格朗日形式

给定 $x_0-x_n$ , $y_0-y_n$
$P(x)=y_0L_0(x)+...+y_nL_n(x)$
其中
$L_{k(x)}=\frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)}$

优点：多项式易于估计出未知模型的积分和微分
缺点：在估计邻界值有较大误差

改进方法：

光滑化：低阶多项式模型

确定插值多项式的阶（小于最高阶）
确定系数
过程：选取一部分值代入即可

例题：拟合方程设为 $P(x)=a+bx+cx^2$
产生最佳拟合数据的二次式模型，将极小化偏差平方和求出二次型
即 $S_{min}=\sum^m_{i=1}[y_i-(a+bx_i+cv_n^2)]^2$
极小化必要条件：
$\frac{\partial S}{\partial a}= \frac{\partial S}{\partial b} =\frac{\partial S}{\partial c}=0$
由此产生以下方程：
$ma+(\sum x_i)b_i+(\sum x_i^2)c=\sum y_i\\ (\sum x_i)a+(\sum x_i^2)b+(\sum x_i^3)c=\sum x_iy_i\\ (\sum x_i^2)a+(\sum x_i^3)b+(\sum x_i^4)c=\sum x_i^2y_i$
代数值求解系数

三阶样条插值

在连续的数据点对之间使用不同的三阶多项式。

线性样条：

当数据紧密排列时，估计两点（已知）间的某点取值，以假设两点间为线性函数。

三阶样条：

在区间 $[x_1,_2)$ 与 $[x_2,x_3)$ ，分别定义样条函数
$S_1(x)=a_1+b_1x+c_1x^2+d_1x^3\\ S_2(x)=a_2+b_2x+c_2x^2+d_2x^3$
一阶与二阶导数：
$S_1'(x)=b_1+2c_1x+3d_1x^2;S_1''(x)=2c_1+6d_1x\\ S_2'(x)=b_2+2c_2x+3d_2x^2;S_2''(x)=2c_2+6d_2x$
在函数内部， $x_2$ 点处导数应匹配
$S_1'(x)=b_1+2c_1x+3d_1x^2=b_2+2c_2x+3d_2x^2=S_2'(x_2)\\ S_1''(x)=2c_1+6d_1x=2c_2+6d_2x=S_2''(x)$
在端点 $x_1$ 与 $x_3$ 处，一阶导数不变 $\rightarrow$ 常数 $\rightarrow$ 二阶导数为0
得 $S_2''(x_1)=2c_1+6d_1x_1=0;S_2''(x_3)=2c_1+6d_1x_3=0$
此称自然样条
若给定
$S_1'(x_1)=b_1+2c_1x_1+3d_1x_1^2=f'(x_1)$ 以及
$S_2'(x_3)=b_2+2c_2x_3+3d_2x_3^2=f'(x_3)$ 称强制样条