线性代数应用方法论

意义

• 将实际问题尽量转化为线性问题来解决
• 若问题是非线性的，那么很可能现代科技是无法解决的，是混沌的。

非线性微分方程->线性微分方程->代数方程，比如5次求导转化成5次乘积。

举例 傅里叶变换

• 思想：找到一个变换，将问题空间变换到另一个容易求解的空间，然后反变换回问题空间。

  
  傅里叶变换

线性代数框架建立

坐标变换

坐标矩阵线性变换

矩阵乘法

矩阵乘法

线性空间

线性空间成立的8条法则。

8条法则
不满足结合律的反例
无零元反例
无逆元的反例
违反单位数乘

非常规线性空间

• 只要满足8条原则就可以看做为线性空间，就可以套用线性空间的解决方案。

  
  非常规线性空间

实数域上的不同函数可以看做不同的向量，这些向量满足8条原则。所以实数域上所有函数构成线性空间。

傅里叶变换

• 本质就是线性空间基变换

  
  连续傅里叶公式

注意到g(k)和f(x)，k和x是两个不同的线性空间，用傅里叶变换可穿梭于两种空间。

离散傅里叶变换

连续傅里叶用积分，离散傅里叶用矩阵乘法

• 快速傅里叶变换

  
  快速傅里叶变换

注意到nlnn远远小于nn，所以O(n^2)能降到O(nlnn)讲师巨大的进步。