高等数学：函数与极限题选(3)

2018-11-18 本文已影响18人溺于恐

1.计算下列极限：

$(1)\lim_{x\to 2}{x^3+2x^2\over (x-2)^2}$

$(2)\lim_{x\to \infty}{x^2\over 2x+1}$

$(3)\lim_{x\to \infty}{2x^3-x+1}$

解：

$(1)\because \lim_{x\to 2}{(x-2)^2\over x^3+2x^2}=0$

$\therefore \lim_{x\to 2}{x^3+2x^2\over (x-2)^2}=\infty$

$(2)\because \lim_{x\to \infty}{2x+1\over x^2}=0$

$\therefore \lim_{x\to \infty}{x^2\over 2x+1}=\infty$

$(3)\because \lim_{x\to \infty}{1\over 2x^3-x+1}=0$

$\therefore \lim_{x\to \infty}{2x^3-x+1}=\infty$

2.设 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 均为非负数列,且 $\lim_{n\to \infty}a_n=0,\lim_{n\to \infty}b_n=1,\lim_{n\to \infty}c_n=\infty$ 下列陈述中哪些是对的,哪些是错的?若是对的,说明理由,若是错的,举出反例

$(1)a_n\lt b_n,n\in N_+$

$(2)b_n\lt c_n,n\in N_+$

$(3)\lim_{n\to \infty}a_nc_n不存在$

$(4)\lim_{n\to \infty}b_nc_n不存在$

解：

$(1)错,例如a_n={1\over n},b_n={n\over n+1},n\in N_+$

$当n=1时,a_1=1\gt {1\over 2}=b_1$

$\therefore \forall n\in N_+,a_n\lt b_n不成立$

$(2)错,例如b_n={n\over n+1},c_n=(-1)^nn,n\in N_+$

$当n为奇数时,b_n\lt c_n不成立$

$(3)错,例如a_n={1\over n^2},c_n=n,n\in N_+$

$\lim_{n\to \infty}a_nc_n=0存在$

$(4)对,假设\lim_{n\to \infty}b_nc_n存在$

$则\lim_{n\to \infty}c_n=\lim_{n\to \infty}b_nc_n\cdot \lim_{n\to \infty}{1\over b_n}也存在,矛盾$

3.下列陈述中哪些是对的,哪些是错的,若是对的,说明理由,若是错的,举出反例

$(1)若\lim_{x\to x_0}f(x)存在,\lim_{x\to x_0}g(x)不存在,则\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]不存在$

$(2)若\lim_{x\to x_0}f(x)和\lim_{x\to x_0}g(x)都不存在,则\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]不存在$

$(3)若\lim_{x\to x_0}f(x)存在,\lim_{x\to x_0}g(x)不存在,则\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)不存在$

解：

$(1)对,假设\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]存在$

$则\lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]-\lim_{x\to x_0}f(x)也存在,矛盾$

$(2)错,例如f(x)=sgn(x),g(x)=-sgn(x),在x\to 0时,极限都不存在$

$但f(x)+g(x)\equiv 0在x\to 0时,极限存在$

$(3)错,例如\lim_{x\to 0}x=0,\lim_{x\to 0}sin{1\over x}不存在$

$但\lim_{x\to 0}xsin{1\over x}=0$

4.证明： $若\lim f(x)=A,\lim g(x)=B,则$

$\lim [f(x)g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=AB$

证：

$\because \lim f(x)=A,\lim g(x)=B$

$\therefore f(x)=A+\alpha,g(x)=B+\beta$

$其中\alpha,\beta为无穷小$

$\therefore f(x)g(x)=(A+\alpha)(B+\beta)=AB+A\beta+B\alpha+\alpha \beta$

$显然A\beta,B\alpha,\alpha \beta都是无穷小$

$\therefore A\beta+B\alpha+\alpha \beta为无穷小$

$\therefore \lim [f(x)g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=AB$

5.证明：若

$(1)当x\in U^\circ(x_0,r)(或|x|\gt M)时,g(x)\le f(x)\le h(x)$

$(2)\lim_{\substack{x\to x_0\\x\to \infty}}g(x)=A,\lim_{\substack{x\to x_0\\x\to \infty}}h(x)=A$

$则\lim_{\substack{x\to x_0\\x\to \infty}}f(x)=A$

证：

$\because \lim_{x\to x_0}g(x)=A$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1\gt 0,$

$当0\lt |x-x_0|\lt \delta_1时,有$

$|g(x)-A|\lt \varepsilon,即A-\varepsilon\lt g(x)\lt A+\varepsilon$

$又\because \lim_{x\to x_0}h(x)=A,对上述\varepsilon\gt 0,\exists \delta_2\gt 0,$

$当0\lt |x-x_0|\lt delta_2时,有$

$|h(x)-A|\lt \varepsilon,即A-\varepsilon\lt h(x)\lt A+\varepsilon$

$\therefore 对上述\varepsilon\gt 0,取\delta=min\{\delta_1,\delta_2,r\}$

$当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,有$

$A-\varepsilon\lt g(x)\le f(x)\le h(x)\lt A+\varepsilon$

$即A-\varepsilon\lt f(x)\lt A+\varepsilon$

$\therefore |f(x)-A|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim_{x\to x_0}f(x)=A$

$当x\to \infty 时,同理可证$

6.利用极限存在准则证明：

$(1)\lim_{n\to \infty}\sqrt{1+{1\over n}}=1$

$(2)\lim_{n\to \infty}n({1\over n^2+\pi}+{1\over n^2+2\pi}+\cdots+{1\over n^2+n\pi})=1$

$(3)数列\sqrt2,\sqrt{2+\sqrt2},\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}},\cdots的极限存在$

$(4)\lim_{x \to 0} \sqrt[n]{1+x} =1$

$(5)\lim_{x\to 0^+}x[{1\over x}]=1$

解：

$(1)\because 1\lt \sqrt{1+{1\over n}}\lt 1+{1\over n}$

$\lim_{n\to \infty}1=\lim_{n\to \infty}1+{1 \over n}=1$

$\therefore \lim_{n\to \infty}\sqrt{1+{1\over n}}=1$

$(2)\because {n^2\over n^2+n\pi}\lt n({1\over n^2+\pi}+{1\over n^2+2\pi}+\cdots+{1\over n^2+n\pi})\lt {n^2\over n^2+\pi}$

$\lim_{n\to \infty}{n^2\over n^2+n\pi}=\lim_{n\to \infty}{n^2\over n^2+\pi}=1$

$\therefore \lim_{n\to \infty}n({1\over n^2+\pi}+{1\over n^2+2\pi}+\cdots+{1\over n^2+n\pi})=1$

$(3)a_1=\sqrt2,a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$

$下证\{a_n\}有界$

$a_1=\sqrt2\lt 2,成立$

$假设对n成立,即a_n\lt 2,则$

$对n+1,a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\lt \sqrt{2+2}=2成立$

$\therefore \{a_n\}有界$

$\because a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n={-(a_n-2)(a_n+1)\over \sqrt{2+a_n}+a_n}\gt 0$

$\therefore \{a_n\}单调递增$

$综上所述$

$\{a_n\}的极限存在$

$(4) ①当x\gt 0时,1\lt \sqrt[n]{1+x}\le 1+x$

$\lim_{x\to 0^+}1=\lim_{x\to 0^+}(1+x)=1$

$\therefore \lim_{x\to 0^+}\sqrt[n]{1+x}=1$

$②当-1\lt x\lt 0时,1+x\le \sqrt[n]{1+x}\lt 1$

$\lim_{x\to 0^-}(1+x)=\lim_{x\to 0^+}1=1$

$\therefore \lim_{x\to 0} \sqrt[n]{1+x}=1$

$(5)\because 1-x=x({1\over x}-1)\lt x[{1\over x}]\lt 1$

$\lim_{x\to x^+}(1-x)=\lim_{x\to x^+}1=1$

$\therefore \lim_{x\to 0^+}x[{1\over x}]=1$

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