数学的矛盾

我总觉得自己的知识太少，因此有空就看书，想多学点知识以充实自己。但由于学历太低，常遇到一些想不明白的问题，衷心地希望在简书这个平台，有聪明的简友给我解惑，不胜感激！

曾经读过一本《趣味数学》，记得好像有一个叫伽利略的科学家说“部分可以等于整体”。开始觉得很不可思议，但看了书中所举的例子后，觉得又很有道理。

书中的例子是这么说的：自然数的平方，是自然数的部分。但是自然数的平方数的个数和自然数的个数一样多。因为每有一个自然数，就相应有一个自然数的平方。

开始我是顺着这本书的作者的逻辑去想的，觉得真是如此。但心中又纠结于“部分”与“整体”，认为部分等于整体是很谎谬的。于是我便从作者的逻辑上去找问题。作者的逻辑问题好像还真的被我找到了——

又有一个数学家叫康托尔，他发明了一种理论叫集合论。按照集合论的说法，全体（注意全体）自然数也是一个集合（N）。如此说来，在这个集合中有一个无穷大的自然数元素，假设为n，那么这个n的平方必定不在集合N中。既然n²不在集合N中，就说明自然数的平方不是自然数的部分。那么“部分等于整体”就显然是不成立的。又如果n²在集合N中，则和全体自然数的集合的定义矛盾。

也可以这样说，全部自然数进行平方之后得出的是什么数？如果还是自然数，则与全部自然数的平方矛盾；如果不是自然数，则自然数的平方不是自然数的部分。