vine copula学习 Day3

前言：还是不能抱什么希望啊...不然只会更加失落。好好在学校锻炼身体+好好看论文吧。

一、简介

很多copula都是基于二元构建的，然而目前可使用的多元copula的是有限的。特别是在金融应用中，不仅需要灵活的多元依赖结构，尾部的相依性也尤为重要。在计算Var时，尾部的灵活性是重要的。一个度量就是上尾和下尾参数，在对称分布下是一致的。

二、D-Vine, Canonical （C-vine）and  Regular Vine（R-Vine）

逐步迭代可从第1行-第2行

根据sklar定理，维度为2时候的密度函数可写成：

c是对函数对两个变量求导后的结果（密度函数）

再拓展可以得到条件分布：

就是上式÷f2得到的

扩展到多维，考虑X1和Xt的分布，再给给定其他变量的情况下：

第二行是展开后一项得到的

再把上式带入到第一个式子中，就可以得到用编辑分布和copula密度函数表示的联合分布的密度函数了。

由于c中只有两个变量故称pair-copula

两种分解：1是考虑X1和Xt的关系（这种被称为D-vine）；二是考虑Xt-1和Xt的关系（被称为C-vine）。由此可知，那么R-vine就是变量之间各种杂七杂八的组合了，从n个变量中选择2个，也会有n*（n-1）/2这么多种可能。

三、regular vines distribution And copulas

有学者发现上面的密度函数可以被表示成藤曼的形式，根据学者的定义，一个d维变量，可以生成d-1棵树，并且有d-1个nodes和edges，具体来说regular vine是如下定义的：

1、    T1有N1={1,...,d}个节点和E1

2、对于剩下几棵树来说，nodes是由上一颗树的edge组成的

3、下一棵树的edge是由上一棵共享一个nodes的edges连接起来的。

这么说可能会有点抽象，下面上图就比较容易理解一些。

edge的确定遵守如下规则：

简单来看，就是j取上个树上共享一个node的edge的最小值，k取最大值，d取交集

然后根据这个规则，制定了我们比较常见的D-vine和C-vine树

D-vine：根据node有几个edge来看，D-vine最多有两个edge

C-vine：每一棵树都有一个独一无二的node，并且会有d-i 个edge

D-vine，有点懂了吗?

密度函数写成了如下形式：

各个node和最后一个edge的乘积 C-vine，是不是非常的清晰？

同理，密度函数也可以写成。。。留给读者自己思考吧。