矩阵分析学习笔记（三）-矩阵的分解

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谱分解

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $A\alpha=\lambda\alpha(\alpha\neq0)$ 。由于 $\mid\lambda E-A\mid=\mid\lambda E-A^T\mid$ ，因此 $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特征值。这样就存在 $\beta\neq0$ ，使得 $A^T\beta=\lambda\beta$ 。若 $A$ 可对角化，即存在可逆 $P$ ，使 $P^{-1}AP=diag\lbrace\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\rbrace$ ，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为 $A$ 的特征值。这时有 $P^TA^T(P^T)^{-1}=diag\lbrace\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\rbrace$ 。

设 $P=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\rbrace, P^{-1}=\lbrace\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\rbrace^T$ ，则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关， $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 也线性无关，且 $A\alpha_i=\lambda\alpha_i, A^T\beta_i=\lambda_i\beta_i. (1\leq i\leq n)$ 。

这样就有 $A=P\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix} P^{-1}=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\vdots\\\beta_n^T\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\alpha_i\beta_i^T$ 称为 $A$ 的谱分解，特征值 $\lbrace\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\rbrace$ 也称为 $A$ 的谱。

若 $A_i=\alpha_i\beta_i^T$ ，则可记为 $A=\sum_{i=1}^n\lambda_iA_i$ ，

其中 $A_i$ 有如下性质：

$A_i^2=A_i (i=1,2,\cdots,n)$
$A_iA_j=0 (i\neq j)$
$\sum_{i=1}^nA_i=E$

由于实对称阵可对角化，因此实对称阵谱分解存在。不可对角化的方阵 $A$ 没有谱分解。

例：求 $A=\begin{bmatrix}4&-6&0\\2&-3&0\\-2&3&2\end{bmatrix}$ 的谱分解。

解：先求 $A$ 的特征值和特征向量。

$\lambda=0,1,2$ ，故 $A$ 可对角化，从而 $A$ 的谱分解一定存在。

对用特征向量为 $p_1=(3,2,0)^T,p_2=(2,1,1)^T,p_3=(0,0,1)^T$ ，

令 $P=(p_1,p_2,p_3)=\begin{bmatrix}3&2&0\\2&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}$ ，则 $P$ 可逆，且 $P^{-1}=\begin{bmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\beta_3^T\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&2&0\\2&-3&0\\-2&3&1\end{bmatrix}$ ，

这样，有 $A=P\begin{bmatrix}0\\&1\\&&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\beta_3^T\end{bmatrix}=p_2\beta_2^T+2p_3\beta_3^T$ 即为 $A$ 的谱分解。

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