04.装备升级宝石数期望
2019-04-06 本文已影响0人
yangsg
腾讯：
将装备从N级升级至N+1级时需要2N-1个宝石，但成功率为1/N。失败时有两种可能：保持等级不变或降低一级，这两者的概率是一致的。
即
| 升级 | 宝石数 | 成功率 | 保级率 | 降级率 |
|---|---|---|---|---|
| 1 - 2 | 1 | 100% | 0% | 0% |
| 2 - 3 | 2 | 50% | 25% | 25% |
| 3 - 4 | 4 | 25% | 37.5% | 37.5% |
| 4 - 5 | 8 | 12.5% | 43.75% | 43.75% |
求将装备从1级升至5级平均消耗多少宝石？
设f(m,n)为将装备从m级升级至n级需要的宝石数
f(1,5) = 1 + f(2,5);
f(2,5) = 2 + f(3,5)/2 + f(2,5)/4 + f(1,5)/4;
f(3,5) = 4 + f(4,5)/4 + f(3,5)*3/8 + f(2,5)*3/8;
f(4,5) = 8 + f(5,5)/8 + f(4,5)*7/16 + f(3,5)*7/16;
f(5,5) = 0;
5个未知数和5个算式，解方程得到（手算未严格验证）
f(1,5) = 222.75 考虑宝石需要取整，故答案应该是223颗
网易：
装备每升级一次消耗1颗宝石，从1级升至5级概率分别为80%，40%，30%，10%，升级失败会掉级，求将装备从1级升至5级平均消耗多少宝石？
| 升级 | 宝石数 | 成功率 | 降级率 |
|---|---|---|---|
| 1 - 2 | 1 | 80% | 0% |
| 2 - 3 | 1 | 40% | 60% |
| 3 - 4 | 1 | 30% | 70% |
| 4 - 5 | 1 | 10% | 90% |
与上一题类似
f(1,5) = 1 + f(2,5)*0.8
f(2,5) = 1 + f(3,5)*0.4 + f(1,5)*0.6
f(3,5) = 1 + f(4,5)*0.3 + f(2,5)*0.7
f(4,5) = 1 + f(5,5)*0.1 + f(3,5)*0.9
f(5,5) = 0;
解方程得到结果（手算未严格验证）
f(1,5) = 151.041667 取整为 152颗
