机器学习笔记（12）：贝叶斯学习（2）

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本文来自之前在Udacity上自学机器学习的系列笔记。这是第12篇，介绍了监督学习中的贝叶斯学习模型（2）。

在贝叶斯学习模型（1）中，介绍了贝叶斯规则（定理）。这里进一步地对贝叶斯学习模型进行总结。

贝叶斯学习模型
之前的的机器学习模型是根据给定的数据和一些领域知识，学习最佳的假设。贝叶斯学习模型也是一样，但它是学习最有可能或概率大的假设。

写成数学式子是：
$argmax_{h \in H} P(h | D)$
其中 $D={(x_i, d_i)}$ 是数据集，而 $H$ 是假设空间。

贝叶斯规则（定理）表示为：
$P(h|D)=\frac{P(D|h)P(h)}{P(D)}$

$P(h|D)$ 是给定数据下假设 $h$ 的概率；
$P(D)$ 是根据数据 $D$ 得到的先验概率；
$P(D|h)$ 是指给定假设时观测到数据的概率；
$P(h)$ 是假设空间中特定假设的先验概率。

算法
对每个假设空间 $H$ 的假设 $h$ ，计算
$P(h|D)=\frac {P(D|h)P(h)}{P(D)}$
输出
$h_{MAP}=argmax_{h}P(h|D)$

其中MAP表示Maximum a Posterior Probability Hypothesis（最大后验概率）。
也就是说，我们要求得给定数据下，某一个假设的概率，可以按照几个先验概率的乘积来计算。

因为 $P(h)$ 往往不可知，而 $P(D)$ 对所有假设 $h$ 都是一样的，我们可以划去 $P(D)$ 一项，同时设定所有的假设 $P(h)$ 都是一样的。

那么可以得到下面简化后的公式：

$h_{ML}=argmax_{h} P(D|h)$

其中ML表示Maximum Likelihood（最大似然假设）。上式表明计算MAP，我们只需要计算给定假设下出现数据概率的最大假设。

假设给定数据集 $D={(x_i, d_i)}$ ， $d_i=f(x_i)+\epsilon_i$ ，其中 $\epsilon_i$ 表示误差，而且符合高斯正态分布，即 $\epsilon_i ~ N(0, \sigma^2)$ 。我们需要求解的是 $h_{ML}=argmax_{h} P(h|D)=argmax_{h} P(D|h)$

进一步地推导：

$h_{ML}=argmax \prod_i P(d_i | h)$

$=argmax \prod_i\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^\frac{(d_i-h(x_i))^2}{2\sigma^2}$

$=argmax \sum_i - \frac{(d_i-h(x_i))^2}{2\sigma^2}$

$=argmin \sum_i (d_i-h(x_i))^2$

从最后这个式子可以看出，我们将求解 $P_{ML}$ 的问题转换为最小化误差平方和的问题。

最小描述长度
$h_{MAP}=argmax P(D|h)P(h) = argmax[lgP(D|h)+lgP(h)]$
根据信息论中的结论，即一个概率为 $P$ 的事件具备长度为 $-lgP$ 。那么上式转换为
$h_{MAP}=argmin[(-lgP(D|h))+(-lgP(h))]$

即

$h_{MAP}=argmin[length(D|h)+length(h)]$

右边这个式子表达了，要得到最大后验概率，我们需要最小化假设 $h$ 的长度，隐含了选择最短决策树的意思。也就是说对于一个数据的分类，我们希望经过最少的决策完成判断，如果可以的话。这就是“奥卡姆剃刀原则”，即“切勿浪费较多的东西去做，用较少的东西，同样可以做好事情”。

左边这个式子表达了，要得到最大后验概率，还需要最小化误差。

这个式子解释的就是信息论中的最小描述长度。

贝叶斯分类
在得到最大后验概率后，我们还需要根据最优假设结果进行投票，最终得到我们想要的最优的分类标签。即
$v_{MAP}=argmax_v \sum P(v|h)P(h|D)$

机器学习笔记（12）：贝叶斯学习（2）

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