宁波2021卷第23题一题思考

本题是几何证明题，从21年宁波卷的调整来看，几何证明是有所增强。

第（1），证明体验：由已知条件可以证出ACD≌AED，结合∠ADC=60°，于是可以推出，∠BDE=∠ADE=60°，轻松解决，美好的体验；

第（2），思考探究：如果说第一题不需要思考，直接可以顺流而下的话，那么这一题需要通过已经条件逐步推理，比如，已知FB=FC，当然可以推出∠FBC=∠FCB，另外，在图中标上CD=3，DG=2后，结合第（1）的全等，可得DE=3，那么接下来就要看结论求BD的长，我们把已知和要求的线段所在的三角形找出来，BDE，CDG，发现可以通过什么来建立关系呢？

第（3），本题条件很多，如何组合，如何思考呢？不妨1、读题目；2、作标记；3、再思考。读到对角线AC平分∠BAD，可以标记∠BAC=∠DAC，同时联想，是否会有助于证明一对全等三角形，如果可以，证明那一对呢？当然这是后话，暂且一放，再读题目条件∠BCA=2∠DCA，这个怎么用呢？既然是两倍关系，如果∠ACD=的话，那么∠ACB=2，但我不会这么标记，而是分成两个进行标记，或者说，如果你作一条角平分线CF的话，那么不就是有ACF≌ACD吗？于是CF=CD=2根号5，接下来，∠EDC=∠ABC，怎么用呢？这个时候其实是最考验你的，一方面，已知条件推出了不少，另一方面，还有许多条件不知怎么用，不着急，慢慢看，看什么呢？

看这么多的数量关系怎么联系？这时候，还是要回想我们平时上课老师怎么强调的，如何归纳的？数量关系无非是：1相似；2、勾股；3、等积；4、三角函数。看本题的图形，估计怎么也得找相似。相等的角有几对呢？有三个，双弧也有一对，太好了，恰好可以发现CED∽CFB，于是可以求出CE=4，有用掉了几个条件，不妨理一下，还有哪些条件没有用到，一般情况下，条件总要全部派上用场。

发现还有：AD=2AE，没有用过，继续思考，线段两倍关系，还是会想到相似，再找找，还有那一对呢？首先肯定是ADE必须参与其中的，因为，两条边都在这里，那么，接下来，应该是通过边还是教去联姻呢？只能是角，如果你已经会作好标记的话，其实不难，找到一对，点对点标记的，也就是∠DAE=∠FAE，但是还有一对有点困难，怎么思考呢？

∠DAE当然是DAE的内角，那么∠FAE是哪一个三角形中的内角呢？可以是AFC，也可以是ABC，从形状可得肯定是前者，于是，目标锁定AED∽AFC，但是目标只有一对角，还有是哪一对呢？如何得到呢？其实不管那一对都行，而且，这个时候，又有经典妙方，那就是三角形的内外角关系，好，不说了，自己搞定！