几何法证明空间中的垂直关系

2021-03-05 本文已影响0人天马无空

立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.

几何法证明空间中的垂直关系

方法一几何法

使用情景：转化的直线或平面比较容易找到
解题步骤：

第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；
第二步找到关键的直线或平面；
第三步得出结论.
【例1】、如图，在边长为 $4$ 的菱形 $ABCD$ 中， $∠DAB=60^\circ$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $CD$ ， $CB$ 的中点， $AC\cap EF=O$ ，沿 $EF$ 将 $△CEF$ 翻折到 $△PEF$ ，连接 $PA$ ， $PB$ ， $PD$ ，得到如图的五棱锥 $P-ABEFD$ ，且 $PB=\sqrt{10}$ .

求证： $BD\bot$ 平面 $POA$ ；

【证明】

$\because$ 点 $E$ ， $F$ 分别是边 $CD$ ， $CB$ 的中点，

$\therefore BD∥ EF$ ，

$\because$ 菱形 $ABCD$ 的对角线互相垂直， $\therefore BD \bot AC$ ，

$\therefore EF\bot AC$ ，

$\therefore EF \bot AO$ ， $EF\bot PO$

$\because AO \subset$ 平面 $POA$ ， $PO \subset$ 平面 $POA$ ， $AO \cap PO=O$ ，

$\therefore EF \bot$ 平面 $POA$ ，

$\therefore BD\bot$ 平面 $POA$ .

【例2】如图所示，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面四边形 $ABCD$ 为等腰梯形， $E$ 为 $PD$ 中点， $PA\bot$ 平面 $ABCD$ ， $AD ∥BC$ ， $AC\bot BD$ ， $AD=2$ ， $BD=4$ ．

证明：平面 $EBD \bot$ 平面 $PAC$ .

【证明】

$\because PA\bot$ 平面 $ABCD$ ， $BD \subset$ 平面 $ABCD$

所以 $PA \bot BD$

又因为 $AC\bot BD$ ， $PA\cap AC=A$

$\therefore BD \bot$ 平面 $PAC$ ，而 $BD \subset$ 平面 $EBD$

$\therefore$ 平面 $EBD \bot$ 平面 $PAC$ .

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读