2.1 分离变量法求解薛定谔方程 Separation of v

2020-05-23 本文已影响0人莎野椰

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前言

这一章我们来讲一下薛定谔方程的求解，在求解薛定谔方程之前，我们先回顾一下普通的微分方程如何求解

1. ODEs and PDE （ordinary and partial differential equation) 常微分和偏微分

常微分告诉我们坐标或速度随着时间的改变
- $x(t),\ y(t),\ V_x(t),\ V_y(t)$
- $\frac{dx}{dt} = V_x,\ \frac{dy}{dt} = V_y$
- $\frac{dV_x}{dt} = -KV_x,\ \frac{dV_y}{dt} = - KV_y-g$
  这是在重力作用下的摩擦阻尼运动
偏微分：有多个变量
- $E(x,y,z)$
- 高斯定律： $\oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = \frac{Q_{enclose}}{\epsilon_0}$ 一个密闭表面，电场对表面的积分=密闭空间电荷量除以真空介电常数。
- 高斯定律偏微分表达式： $\vec{\Delta} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
- 通常的偏微分方程并不是用电场表示，而是电势 $\vec E = -\vec \Delta V$
- 因此上式可以表示为: $\Delta^2 V = \rho/\epsilon_0$
- $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \rho/\epsilon_0$

2. 求解偏微分方程（类薛定谔方程）

分离变量法
- guess: $V(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ 这是理想情况下
- 曲率和加速度的关系，如果向上弯曲，加速度方向向上，如果向下弯曲，加速度方向向下，如果弯曲越大，则加速度越大：（ $\color{green}{注意曲率这个定义，后面也有用处}）$
  
  image.png
- $\underbrace{\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2}}_{这就是波函数}$
  假设： U可以分离变量 $U(x,t) = X(x) T(t)$ 带入上式
- $\frac{\partial^2 (X(x) T(t))}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 (X(x) T(t))}{\partial x^2}$
- $\Rightarrow X \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} = c^2 T\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$
- 上式两边同时除以 XT
- $\Rightarrow \underbrace{\frac{1}{T} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}}_{func\ only\ of\ T} = \underbrace{c^2 \frac{1}{X}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}_{func\ only\ of\ X}$
- 讨论: $f(t)=g(x)$
  上式两边分别是t和x的函数，且x与t相互独立，if x改变但t不变，那么g改变，等式不成立，同理t变x不变一样，所以上式一定等于一个常数：
  $f(t)=g(x)=constant$
- $\Rightarrow \frac{1}{T} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} = a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c^2 \frac{1}{X}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = a$
- $\Rightarrow \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} = aT \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = aX$
- $\Rightarrow T = A e^{\sqrt{a}t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X = e^{\frac{\sqrt{a}}{c} x}$
- $\Rightarrow U(x,t) = A e^{\sqrt{a}t} e^{\frac{\sqrt{a}}{c} x}$
  其中A，a这些常数就需要边界条件来确定，实际上a经过确定会是一个复数，这样e指数上标为复数的话，就可以利用欧拉公式变成cos(x) + isin(x)形式，实际上就是一个波函数。
The time-dependent Schrodinger equaiton (TDSE)
- $i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x) \Psi(x,t)$
- 故计重施用 $\Psi = XT$ 带入上式
- $\Rightarrow i\hbar X \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} T \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + V(x) XT$
- $\Rightarrow \underbrace{i\hbar \frac 1 T \frac{\partial T}{\partial t} }_{only\ T}= \underbrace{- \frac{\hbar^2}{2m} \frac 1 X \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + V(x)}_{only\ X} = const = E$
- - $i\hbar \frac 1 T \frac{\partial T}{\partial t} = E$
    $\Rightarrow \frac{dT}{dt} = \frac{iE}{\hbar} T$
    $\Rightarrow T = A e^{-\frac{iE}{\hbar} t}$
    这里一个讨论很有意思，把上述复数投影到笛卡尔坐标，实际上是一个圆波函数：根据欧拉公式，e指数可以化为复数， $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ，那么实数部分就是一个(-1~1)区间的cos函数，虚数部分是一个(-1,1)区间的sin函数，随着t的变化，逐渐形成一个圆圈圈。
    image.png
The time-independent Schrodingeer eqation (TISE)
- 取上述方程的另一半
  $- \frac{\hbar^2}{2m} \frac 1 X \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + V(x) = E$
  $\Rightarrow \underbrace{ \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + V(x)X}_{\hat H X = EX} = EX$
  这就是常见的薛定谔方程，也是求解薛定谔方程最复杂的部分！
总结
- - 时间： $i\hbar\frac{\partial T}{\partial t} = ET$
  - 时间不相关： $- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + V(x)X = EX$
- 注意：书中常用如下形式表示波函数
  $\Psi(x,t) = \psi(x) \varphi(t) = X(x) T(t)$
  表示波函数，方程左边是真正的波函数，方程右边 $\psi$ 其实只是波函数的time-independent部分，通常大多数人会把他称为波函数，这是不正确的。