趣味数学：葫芦娃换宝升级到九龙换宝

2022-06-13 本文已影响0人易水樵

传说，龙王有 9 个儿子，每个儿子有一件宝物。每一位龙子都送出自己的宝物，也得到另一位龙子的宝物，但不允许任意两位龙子互相交换宝物。一共有多少种不同的交换方案？

【解答】

9位龙子交换宝物，交换方案可以分为以下三类。
第一类，9位龙子分为一个 9龙大组。按照圆周排列模型，具体的交换方案数为： $A^8_8$ ；

第二类，9位龙子按照 4+5 方式分为两组。

针对这一类，需要分三步走：

（1）分组的方案数为 $C^4_9$ ;
（2）4龙小组的交换方案数为 $A^3_3$
（3）5龙小组的交换方案数为 $A^4_4$

根据乘法原理可以求出，这一类方案的总数为 $C^4_9 \times A^3_3 \times A^4_4$ ;

第三类，9位龙子按照 3+6 方式分为两组。

这一类方案的总数为 $C^3_9 \times A^2_2 \times A^5_5$ ;

第四类，9位龙子按照 3+3+3 方式分为3个组。

（1）分组的方案数为 $C^3_9\times C^3_6 \times C^3_3 \div A^3_3$ ;
（2）3个小组内部的交换方案数都是 $A^2_2$

所以，第四类交换方案的总数为 $C^3_9 \times C^3_6 \times 2^3 \div 6$ ;

根据加法原理，9位龙子的交换方案总数等于三类方案之和，也就是：

$A^8_8+C^4_9 \times A^3_3 \times A^4_4 + C^3_9 \times A^2_2 \times A^5_5 + C^3_9 \times C^3_6 \times 8 \div 6$