【音乐应用的音频信号处理】基础数理知识

2019-10-13 本文已影响0人莹子说她想吃烤冷面

Index

● Sinusoidal functions
● Complex numbers
● Euler’s formula
● Complex sinusoids
● Scalar product of sequences
● Even and odd functions
● Convolution

Sinusoidal functions —— Sin函数

Sin曲线：
$x[n]=A \cos (\omega n T+\phi)=A \cos (2 \pi f n T+\phi)$ A：振幅
ω：角频率（弧度制的，单位为radians/seconds）
φ：初始相位（弧度制的）
f：频率（f = ω/2π，单位为Hz，表示cycles/seconds）
nT：时间（n是时间index，每采样一次时间index就+1；T是采样周期，就是“多久采样一次”，单位是秒）

Complex numbers —— 复数

复数分为实部和虚部，a是实部，bj是虚部，j是虚数单位。
$(a+jb)$ $j=\sqrt{-1}$ 我们可以在复平面（complex plane）上来表示这些复数，横轴代表实数部分，纵轴代表虚数部分，如下图：

屏幕快照 2019-10-11 17.34.26.png 这个圆的幅度是1，所以也叫做单位圆，上面的每一点都是一个幅度为1的复数。

复数的直角坐标形式vs极坐标形式复数在复平面上既可以表示为直角坐标形式，也可以表示为极坐标形式。图中的atan2 是个函数，返回以弧度表示的b/a 的反正切。

Euler’s formula —— 欧拉公式

欧拉公式在复数的直角坐标和极坐标形式间，建立了一个非常有用的联系。
$e^{j\varphi}=\cos \varphi+j \sin \varphi$ $e^{-j\varphi}=\cos \varphi-j \sin \varphi$ $\cos \varphi=\frac{e^{j \varphi}+e^{-j \varphi}}{2}$ $\sin \varphi=\frac{e^{j \varphi}-e^{-j \varphi}}{2j}$

欧拉公式

Complex sinusoids —— 复正弦信号

$\begin{aligned} \bar{x}[n] &=A e^{j(\omega n T+\phi)}=A e^{j \phi} e^{(j \omega n T)}=X e^{j(\omega n T)} \\ &=A \cos (\omega n T+\phi)+j A \sin (\omega n T+\phi) \end{aligned}$ 这里有两个部分：实正弦信号和虚正弦信号。我们常用的是实正弦信号，但傅立叶变换采用的复正弦信号，因此我们的目的是将复正弦信号转化为实正弦信号。

实正弦信号： $\begin{array}{l}{x[n]=A \cos (\omega n T+\phi)=A\left(\frac{e^{j(\omega n T+\phi)}+e^{-j(\omega n T+\phi)}}{2}\right)} \\ {\quad=\frac{1}{2} X e^{j(\omega n T)}+\frac{1}{2} X^{*} e^{-j(\omega n T)}=\frac{1}{2} \bar{x}[n]+\frac{1}{2} \bar{x}^{*}[n]} \\ {\quad=\Re\{\bar{x}[n]\}}\end{array}$ （星号“ * ”是为了表示X和X*是两个不同的数）
上式表明：将两个（不同的）复正弦波累加，可以得到一个复正弦波的实部。

Scalar product of sequences —— 数列间的内积

输入两个等长的数列，输出一个数值。
$\langle x, y\rangle=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] y^{*}[n]$ 正交向量的内积为0。

Even and odd functions —— 奇函数与偶函数

$\begin{array}{l}{\mathrm{f}[\mathrm{n}] \text { is even if } \mathrm{f}[-\mathrm{n}]=\mathrm{f}[\mathrm{n}][\text { symmetric }]} \\ {\mathrm{f}[\mathrm{n}] \text { is odd if } \mathrm{f}[-\mathrm{n}]=-\mathrm{f}[\mathrm{n}][\text { antisymmetric }]}\end{array}$ 以y轴为对称轴的是偶函数（cosine），以原点为对称点的是奇函数（sine）。

Convolution —— 卷积

$y[n]=\left(x_{1}[n] * x_{2}[n]\right)_{n}=\sum_{m=0}^{N-1} x_{1}[m] x_{2}[n-m]$

卷积从图上看起来，y是x1和x2的一种结合。卷积类似于计算交叉相关性（cross correlation），这是一种常用的滤波算法。