高中数学纲目

压轴客观题：2022年新高考数学全国卷题16

2022-06-22 本文已影响0人易水樵

压轴客观题：2022年新高考数学全国卷题16

已知函数 $f(x)=e^{-x} -e^x$ ，若函数 $h(x)=f(x-4)+x$ ，则函数 $h(x)$ 的图象的对称中心为 $\underline{\mspace{80mu}}$ ；若数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 为等差数列， $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{11}=44$ , $h(a_1)+h(a_2)+ \cdots+ h(a_{11})= \underline{\mspace{80mu}}$

【解答问题一】

∵ $f(x)+f(-x)=0$

∴ $f(x)$ 是奇函数，其图象的对称中心为 $(0,0)$ ;

记 $g(x)=f(x)+x$ , 其图象的对称中心也是 $(0,0)$ ;

$g(x-4)$ 的对称中心为 $(4,0)$ ;

$h(x)=f(x-4)+x = g(x-4) +4$ , 其图象可以由 $g(x)$ 的图象平移得到，所以， $h(x)$ 对称中心是 $(4,4)$ ;

验算如下：

$h(4+x)+h(4-x) = f(4+x-4)+f(4-x-4) + (4+x) + (4-x)=8$

$\dfrac{h(4+x)+h(4-x) }{2}=4$

验算通过.

【解答问题二】

由已知条件可得：

$a_6=4$ ,

$a_5=4-d, a_7=4+d$ ,

$a_4=4-2d, a_8=4+2d$ ,

$\cdots$

所以，

$h(a_6)=4$

$h(a_5)+h(a_7)=8$

$\cdots$

所以，

$h(a_1)+h(a_2)+ \cdots+ h(a_{11})= 44$

【提炼与提高】

按照惯例，客观题的最后一题，是比较烧脑的，所以称为压轴题。

2022年的第16题算不算难？

从以上解答过程来看，并没有用到什么高深的知识或者生僻的公式，算不上很难。

但是，这个题和各类教辅书总结的「题型」都不靠。假如考生拿熟悉的「题型」来套，会发现套不进去。很多人喊难，也就不奇怪了。

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