幂级数展开
什么是级数
在数学中，一个又穷或无穷的序列u0, u1, u2, u3… 的和s=u0+u1+u2+u3+… 称为级数。
- 如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数。
- 如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数；如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
- 通项：序列u0, u1, u2 … 中的项称作级数的通项（或一般项）。
- 正项级数：若通项为实数的无穷级数∑un每一项un都大于等于零，则称∑un是正项级数。
什么是幂级数
幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。单变量的幂级数形式为：
power_series.png
其中的c和a0,a1，a2… an…是常数。a0,a1，a2… an…称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数。幂次为非负整数。
鉴于幂级数的良好分析性质以及对其深入的研究，如果将要研究得到函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。
无穷级数的研究史
将一个函数展开成无穷级数的概念来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开。
泰勒级数
泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克.泰勒来命名的。
将函数展开为幂级数
泰勒公式：Taylor’s Formula 是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor’s theorem）,泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式。
泰勒公式的初衷时用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说：
ex.png
称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。
通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林.麦克劳林的名字命名。
更一般的，将一个函数写成∑an(x-c)n的形式称为将函数在c处展开成幂级数。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。
鉴于幂级数的良好分析性质以及对其深入的研究，如果将要研究得到函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。
常用的函数的麦克劳林序列（幂级数展开）：
power_series_func.png
