有心力问题（6）: 伯特兰定理

2020-01-21 本文已影响0人有限与微小的面包

有心力问题（3）介绍了一种如何避免直接求解积分而最大程度获取微粒运动轨道特征的定性分析法。本篇将致力于一个更深入的定性分析法。

$\bullet$ 伯特兰定理主要范围是那些能够导致微粒封闭轨道的吸引力，其中也包括了曾经在有心力问题（3）中提及的圆。

如之前所说，微粒运动轨道是圆的条件是能量与有效势 $V^{\prime}$ 在其局部最值处相切：

（1） $V^{\prime}(r_0) = E$

（2） $\left.\frac{\partial V^{\prime}}{\partial r}\right|_{r = r_0} = 0$

第二个条件也等价于微粒在距离 $r_0$ 所受有效力为零：

$\left.\frac{\partial V^{\prime}}{\partial r}\right|_{r = r_0} = -f^{\prime}(r_0) = 0$

根据定义，

$f^{\prime}(r) = f(r) + \frac{l^2}{mr^3} = 0$

$\implies \boxed{f(r_0) = -\frac{l^2}{mr_0^3}}$

所以如果微粒运动的轨迹如果是圆，所受力必须为吸引力。

由于总能量 $E = T + V^{\prime}(r_0)$ 守恒，条件（1）则指出微粒的动能 $T$ 为零。（ $\dot{r} = 0$ ）

于是，

$E = \frac{l^2}{2mr_0^2} + V(r_0)$

这两个条件指出，对于有心吸引力而言，我们总是可以找出一个距离 $r_0$ ，使得微粒运动轨迹是一个封闭的圆。

$\bullet$ 有效势 $V^{\prime}$ 在切点处需为局部最值。

（1）对于平方反比律而言，有效势 $V^{\prime}$ 在切点为局部最小。如图切点处的能量为 $E_4$ 。所以对于任何大于切点处的能量，如 $E_3 > E_4$ ，此时会与有效势存在两个交点，导致轨道不再是圆，但微粒的运动仍然是封闭的。我们把这种情况下对应的轨道称为稳定轨道(stable orbit)。

（2）相反地，对于立方反比律，有效势 $V^{\prime}$ 在切点处为局部最大。切点处的能量为 $E_1$ ，对于任何大于 $E_1$ 的能量，将不再与有效势存在存在任何交点，即，微粒运动轨道不再封闭。我们把这种情况下对应的轨道称为不稳定轨道(unstable orbit)。

$\bullet$ 可见，对轨道稳定性的测试主要是验证有效势 $V^{\prime}$ 的二阶导 $\left.\frac{\partial^2 V^{\prime}}{\partial r^2}\right|_{r=r_0}$ 在半径 $r_0$ 处的符号：

（1）若二阶导符号为正，有效势在 $r_0$ 处为凸，取得局部最小值。微粒的轨道稳定。

（2）若二阶导符号为负，有效势在 $r_0$ 处为凹，取得局部最大值。微粒的轨道不稳定。

$\bullet$ 对于稳定轨道，根据稳定性测试，有

$\begin{align*}\left.\frac{\partial^2 V^{\prime}}{\partial r^2}\right|_{r=r_0} &= \left.\frac{\partial^2 V}{\partial r^2}\right|_{r=r_0} + \left.\frac{\partial^2}{\partial r^2}\left(\frac{l^2}{2mr^2}\right)\right|_{r=r_0}\\&= -\left.\frac{\partial f}{\partial r}\right|_{r=r_0} + \frac{3l^2}{mr_0^4} >0\end{align*}$

$\implies \left.\frac{\partial f}{\partial r}\right|_{r=r_0} < \frac{3l^2}{mr_0^4}$

由于能量与有效势相切，有效力 $f^{\prime}(r_0) = 0$ ，所以 $f(r_0) = -\frac{l^2}{mr_0^3}$

不等式变成：

$\left.\frac{\partial f}{\partial r}\right|_{r=r_0} < -\frac{3f(r_0)}{r_0}$

由于 $\frac{f(r_0)}{r_0}$ 是一个负数

$\implies \boxed{\frac{r_0}{f(r_0)}\left.\frac{\partial f}{\partial r}\right|_{r=r_0} > -3}$

这时微粒圆轨道的稳定条件。

$\bullet$ 若要写成含有对数的形式，则需要关系：

$\frac{d\ln r} {dr} = \frac{1} {r} \implies \boxed{\left.\frac{dr}{d\ln r}\right|_{r_0} = r_0}$

$\left.\frac{df}{d\ln f}\right|_{r_0} = f(r_0) \implies \boxed{\left.\frac{d\ln f}{df}\right|_{r_0} = \frac{1}{f(r_0)}}$

于是

$\boxed{\left.\frac{d\ln f}{d\ln r}\right|_{r=r_0} > -3}$

（例）

对于幂律

$f = -kr^n,\; k > 0$

在微粒圆轨道半径 $r_0$ 附近的区域，根据稳定条件，有

$\left.\frac{d\ln(-kr^n)}{d\ln r}\right|_{r=r_0} = \left.\frac{d\left[\ln(-k) + n\ln(r)\right]}{d\ln r}\right|_{r=r_0} = n\left.\frac{d\ln(r)}{d\ln(r)}\right|_{r=r_0} = n > -3$

所以对于任何变化率小于 $1/r^2$ 的势函数，圆轨道在位置 $r_0$ 均是稳定的。

$\bullet$ 轨道稳定情况下，微粒具有的能量若只是受到了一点小的改变，轨道半径也只会稍微地偏离初始半径 $r_0$ 。

我们把偏离后的距离用 $u(\equiv 1/r)$ 表示：

$u = u_0 + \rho(\theta)$

其中 $\rho(\theta)$ 是一个关于角度的函数，我们想要知道 $\rho(\theta)$ 的具体表达式。

对有效势 $V^{\prime}(u)$ 使用泰勒展开：

$V^{\prime}(u_0 + \rho(\theta)) = V^{\prime}(u_0) + \rho(\theta)\left.\frac{d V^{\prime}}{d u}\right|_{u=u_0} + \frac{1}{2}\rho^2(\theta)\left.\frac{d^2V^{\prime}}{du^2}\right|_{u=u_0} +...$

由于 $\left.\frac{\partial V^{\prime}}{\partial r}\right|_{r = r_0} = 0$ ，保留至二阶项，有

$V^{\prime}(u) = \frac{1}{2}\rho^2(\theta)\left.\frac{d^2V^{\prime}}{du^2}\right|_{u=u_0} + V^{\prime}(u_0)$

利用之前得到的轨道微分方程：

$\frac{du}{d\theta} = \frac{m}{l}\sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V^{\prime}(u)\right]}$

将近似后的有效势代入，并使用微分关系： $\frac{du}{d\theta} = \frac{d\rho} {d\theta}$

$\frac{1}{2}\frac{l^2}{m}\left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2 + \frac{1}{2}\rho^2(\theta)\left.\frac{d^2V^{\prime}}{du^2}\right|_{u=u_0} = E^{\prime}$

其中 $E^{\prime} = E - V^{\prime}(u_0) = 0$

上述微分方程在形式上与简谐振荡的微分方程相似，其通解具有形式：

$\rho(\theta) = ae^{i\beta\theta} + be^{-i\beta\theta} = A\cos(\beta\theta)$ ，频率 $\beta = \sqrt{\frac{d^2V^{\prime}(u_0)/du^2}{(l^2/m)}}$ 。

对于圆轨道，若初始半径受到微扰，微粒将做关于初始半径的简谐振荡，其中振幅 $A$ 取决于微粒的能量偏差值。

$\bullet$ 我们还可对频率 $\beta$ 的表达式做如下简化：

根号内，分子可被具体写为：

$V^{\prime\prime}(u_0) = \frac{l^2}{m} + \frac{V^{\prime\prime}\left(\frac{1}{u_0}\right)}{u_0^{4}} + \frac{2V^{\prime}\left(\frac{1}{u_0}\right)}{u_0^3}$

分母 $m^{\ast} \equiv \frac{l^2}{m}$ 有时也被称为有效质量（effective mass）（注意与约化质量区分）。

再次使用 $\left.\frac{\partial V^{\prime}}{\partial u}\right|_{u = u_0} = 0$ ，

$\implies \left.\frac{dV^{\prime}(u)}{du}\right|_{u=u_0} = \frac{l^2u_0}{m} - \frac{dV\left(\frac{1}{u_0}\right)/du}{u_0^2} = 0$

$\implies \frac{l^2}{m} = \frac{dV\left(\frac{1}{u_0}\right)/du}{u_0^3}$

统统代入频率的表达式中，最终得到：

$\beta^2 = 3 + \frac{r}{f}\left.\frac{df}{dr}\right|_{r=r_0}$

当径矢完整地扫过一次轨道，微粒同时也将完成 $\beta$ 次关于初始半径 $r_0$ 的简谐振荡。若 $\beta$ 是一个有理数（ $\frac{p}{q}$ ），那么微粒将在径矢扫过 $q$ 次轨道时完成 $p$ 次振荡。之后便会开始重塑整个轨迹，始终保证轨道的封闭性。

\beta = 5

时微粒关于关于圆轨道初始半径的简谐振荡

考虑到 $\beta$ 本身的离散性，为了保证圆轨道在受微扰时始终封闭（振荡频率必须始终连续）， $\beta$ 除了是有理数，还必须对于所有可能的圆轨道半径具有相同的大小，即是一个不依赖角度 $\theta$ 或是半径 $r$ 的常数。

这样一来，我们就可以将等式 $\beta^2 = 3 + \frac{r}{f}\left.\frac{df}{dr}\right|_{r=r_0}$ 视为一个关于力 $f$ 的微分方程。通过求解 $f$ ，我们可以得到其满足封闭轨道条件的具体形式。

使用关系 $d\ln f = \frac{1}{f}df$ ， $d\ln r = \frac{1}{r}dr$ ，将微分方程改写为：

$\frac{d\ln f}{d\ln r} = \beta^2 - 3$

$\implies \ln f =\ln r^{-(3 - \beta^2)} + c$

$\implies \boxed{f(r) =-\frac{k}{r^{3-\beta^2}}}$

所以，当频率 $\beta$ 为有理数时，在所有具有形式： $f(r) =-\frac{k}{r^{3-\beta^2}}$ 的力作用下形成的圆轨道在受到微扰后将依然封闭。

其中自然也包括了我们熟知的 $\beta = 1$ 时的平方反比力 $f(r) = -\frac{k}{r^2}$ 。

$\bullet$ 你可能会问，要是圆轨道半径所受影响程度过大，相同形式的力是否还会保证轨道的封闭性？通过保留对有效势泰勒展开中的剩余项，并代入相应的轨道方程进行计算，乔瑟夫·伯特兰(Joseph Bertrand)在1873年发现，如果保留圆轨道一阶以上的偏差值，只有 $\beta^2 = 1$ 和 $\beta^2 = 4$ 这两种情况能够保证圆轨道依然封闭。 $\beta^2 = 1$ 是熟知的平方反比力，而 $\beta^2 = 4$ 是胡克定律。这是伯特兰定理——有心力律中仅存在两种能够保持封闭轨道：平方反比力律和胡克力律。

$\bullet$ 在天文观测中，受束天体的运动轨迹在一阶近似下通常都是封闭的。初始圆轨道半径受到微扰一般是由于其它天体的存在，上述关于封闭轨道的判定不管是对于我们的太阳系，还是任何目前观测到的双星系统，均是成立的。由于封闭轨道在自然界中存在于广泛条件下，所以很自然地，我们也将引力归类为了一种大小与距离平方呈反比的力。

有心力问题（6）: 伯特兰定理

有心力问题（3）介绍了一种如何避免直接求解积分而最大程度获取微粒运动轨道特征的定性分析法。本篇将致力于一个更深入的定性分析法。

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