高中数学纲目

多面体与球：「2011年全国卷题15」「2012年全国卷题11

2021-09-23 本文已影响0人易水樵

2011年全国卷题15

15.已知矩形 $ABCD$ 的顶点都在半径为 $4$ 的球 $O$ 的球面上，且 $AB=6,BC=2\sqrt{3}$ ，则棱锥 $O-ABCD$ 的体积为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

【解析】

如图所示，记对角线 $AC, BD$ 的交点为 $Q$ . $\triangle ABC$ 是直角三角形，依据勾股定理可得：

$AC^2=AB^2+BC^2=48$

$AC=4\sqrt{3}$

$AQ=2\sqrt{3}$

$\triangle OAC$ 是等腰三角形， $\triangle OAQ$ 是直角三角形，所以

$OQ^2=OA^2-AQ^2=4$

$OQ=2$

$S_{ABCD}=AB \times BC=12\sqrt{3}$

$V_{O-ABCD}= \dfrac{1}{3} \times S_{ABCD} \times OQ=8\sqrt{3}$

2012年全国卷题11

（11）已知三棱锥 $S-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形， $SC$ 为球 $O$ 的直径，且 $SC=2$ ，则此棱锥的体积为

$(A)\dfrac{\sqrt{2}}{6} \qquad (B)\dfrac{\sqrt{3}}{6} \qquad (C)\dfrac{\sqrt{2}}{3} \qquad (D)\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【解析】

如图所示， $\triangle ABC$ 是正三角形，其外接圆的直径 $EC=\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

其面积 $S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2} ab \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

因为 $SC$ 为球 $O$ 的直径，所以 $\triangle SEC$ 是直角三角形，所以

$SE^2=SC^2-EC^2=2^2\times \dfrac{2}{3}$

$SE=2\times\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$V_{S-ABC}=\dfrac{1}{3} \times S_{\triangle ABC} \times SE=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$

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