二.函数的图像（1）

2022-01-11 本文已影响0人傻疯子

1.直角坐标系下

（一）基本初等函数与函数

基本初等函数有：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数、常数函数

（1）常数函数

$y=A$ ， $A$ 是常数，是偶函数，平行于x轴，常用于判断交点数量，求概率

（2）幂函数

$y=x^\mu \quad (\mu是常数)$

在 $x>0$ 时 $y=x$ 与幂函数及 $y=lnx$ 拥有相同的单调性，与 $y= \frac{1}{x}$ 相反的单调性，因此可以利用这点来研究最值：
带根号的只研究内部的函数的即可，绝对值可以研究函数的平方，连乘可以取对数转换为加法研究，研究指数为负的幂函数可以通过研究指数为正的相反结论。

其中幂函数的积分中 $\int_0^1 (\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3}$ 可以记忆

（3）指数函数

$y=a^x(a>0,a\neq1)$

常见指数函 $y=e^x$ 极限不存在，因为正负无穷的极限的值不唯一

另可记忆 $\int_{-\infty}^0e^xdx=e^x|_{-\infty}^0 = e^0-0=1$

（4）对数函数

$y=log_ax(a>0,a\neq1)$ 是 $y=a^x$ 的反函数

可记忆 $\lim_{x \to 0^+}xlnx=0$ 可将简单的 $x$ 放入分母用洛必达可得，因为lnx趋于无穷的速度是极慢的，远远慢于x趋于0的速度，同时 $\lim_{x \to 0^+}x^alnx=0$
另幂指数函数 $u^v=e^{vlnu}$

（5）三角函数

正弦函数是 $y=sinx$ ，余弦函数是 $y=cosx$

其中 $|sinx|\leq|1|$ ， $|cosx|\leq|1|$ ，在 $x=0$ 的邻域内可进一步 $|sinx|<|x|$

常用的积分可记忆： $\int_0^\pi sinxdx=2$ , $\int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi}{4} sinxdx=\sqrt{2}$ , $\int_\frac{3\pi}{4}^\frac{5\pi}{4} |sinx|dx=2-\sqrt{2}$

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