【3】排序不等式

2022-07-02 本文已影响0人备考999天

定理3.1 $a_1\le a_2\le ...\le a_n,b_1\le b_2\le ...\le b_n$ ，数列 $\{c_n\}$ 是 $\{b_n\}$ 的一个排列，那么：
$a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1\le a_1c_1+a_2c_2+...+a_nc_n\le a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\tag{3.1}$
题3.2 $a,b,c\in \mathbb R$ ,证明：
$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
证法1 不妨设 $a<b<c$ ，根据排序不等式：
$a^2+b^2+c^2 = aa+bb+cc\ge ab+bc+ca$ $\blacksquare$

证法2 根据柯西不等式，有
$a^2+b^2+c^2 \ge (a+b+c)^2/3$ 所以
$3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ 移项化简得 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
$\blacksquare$

题3.3 $a,b,c\ge 0$ ,证明：
$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$
证明不妨设 $a\le b\le c$ ，因 $a,b,c\ge 0$ ，所以
$a^2\le b^2\le c^2$ 根据排序不等式：
$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$ $\blacksquare$

题3.4 $a,b,c>0$ ,证明：
$\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\ge \frac{a}b+\frac{b}c+\frac{c}a$
证明不妨设 $a\ge b\ge c$ ，因 $a,b,c> 0$ ，所以
$bc\le ca \le ab,1/a^2 \le 1/b^2 \le 1/c^2$
根据排序不等式有 $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\ge \frac{a}b+\frac{b}c+\frac{c}a$ $\blacksquare$

【3】排序不等式

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