二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？
二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？
注意，二分查找（也叫折半查找）是针对有序数据集合的查找算法。
二分查找的思想很简单，首先来看一道思考题。
假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判
断某个整数是否出现在这 1000 万数据中嗯？我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最
多不要超过 100MB，你会怎么做？
一、无处不在的二分思想
我们应该都玩过类似的一种小游戏：我随机写一个 0-99 之间的数字，你来猜我写的是什么，你每猜一次，我就会告诉你是 大了 还是 小了。直到猜中为止。
此处概念逻辑比较简单，不多费口舌。
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这是生活中的例子，我们回到实际的开发场景中。
假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单元是 元。我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在，则返回 null。
最简单的办法就是从第一个订单开始，一个一个遍历这 1000 个订单，直到找到金额等于 19 元的订单位置。但这样查找会比较慢，最坏情况下，可能要遍历完这 1000 条记录才能找到。那用二分查找能不能更快速地解决呢？
为了方便，这里假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8、11、19、23、27、33、45、55、67、98
还是利用二分思想，每次都与区间中间数据比较大小，缩小查找区间的范围。下图中，low high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。
查找过程示意图
二分查找的思想：二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
二、惊人的查找速度 ○(logn)
二分查找是一种非常高效的查找算法。分析一下它的时间复杂度。
这里假设数据大小是 n，每次查找后目标数据都会缩小为原来的一半。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。
被查找区间大小的变化
这明显是一个等比数列，而且我们知道每次缩小的操作，只涉及到两个数据大小的比较（常量时间），所以实际上我们的目标是找到总共缩小了多少次，在上图等比数列中，当 n/2^k=1 时， k 的值就是总共缩小的次数。那么经过了 k 次区间缩小的操作，时间复杂度就是 ○(k)。
推导过程
所以时间复杂度就是：○(㏒n)
我们知道，时间复杂度来描述算法的运行时间，实际上描述的是一个增量问题，那么 ○(㏒n) 这个时间复杂度有多高效呢？在某些情况下，甚至比 ○(1) 时间复杂度还要高效。
因为在使用 大○表示法 时，会省略掉常数、系数、低阶。那么 ○(1) 的常数也可能是 1000，10000 等，所以常量级时间复杂度有时候可能还没有 ○(㏒n) 算法执行效率高。
置于 ○(㏒n) 与 ○(n²) 的差距会随着 n 的增长变得非常明显，比如 n 等于 2 的 32 次方，大概是 42 亿，而如果使用 二分查找，我们只需要比较 32 次即可。
三、二分查找的非递归实现
此节只是 二分查找 的简单实现，下一节是各种二分查找的变体。
最简单的情况就是 有序数组中不存在重复元素， 我们在其中使用 二分查找 值等于给定值 的数据。
public static int bsearch(int[] a,int n,int value){
int low = 0;
int high = n-1;
while (low<=high){
int mid = low + (high - low) / 2;
if(a[mid] == value){
return mid;
}else if(a[mid] < value){
low = mid + 1;
}else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
需要注意容易出错的三个地方：
循环退出条件：
注意是 low<=high ，而不是 low < high
原因：若判断条件为 low < high，那么当目标数据是数据中最大值时（下标为 n-1），那么最后一次的 low 和 high 值是相等的，都为 n-1，此时判断 low < high 为false，不进入循环，那么实际上就少判断了 最大值 是否是目标数据的情况。
mid 的取值
要写成：mid = low + (high - low)/2 ，若写成 mid = (high+low)/2 ，当 high、low的值较大时，可能会溢出 int 类型的容量。还可以使用位运算：mid = low + ((high - low) >> 1) ，可读性稍差。
low 和 high 的更新
low = mid - 1、high = mid + 1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high = 3，low = 3时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。
四、二分查找的递归实现
使用递归思路，要先写出递推公式和终止条件。
public static int bsearch2(int[] a, int n, int target) {
return bsearchInternally(a, 0, n - 1, target);
}
private static int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int target) {
if (low > high) {
return -1;
}
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] == target) {
return mid;
} else if (a[mid] < target) {
bsearchInternally(a, mid + 1, high, target);
} else {
bsearchInternally(a, low, mid - 1, target);
}
return -1;
}
五、二分查找应用场景的局限性
二分查找的时间复杂度是 ○(㏒n)，查找效率非常高。不过并不是什么情况下都可以使用二分查找的。
二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组
可以依赖链表吗？答案是不可以，因为二分查找算法需要按照下标随机访问元素。
二分查找针对的是有序数据
如果数据是无序的，需要先排序才可以使用二分查找。
另外，如果数据是动态变化的，那么二分查找将不再使用，因为维护一个动态数据的有序，成本是很高的。
数据量太小不适合二分查找
○(㏒n) 时间复杂度，n 越大越，效果越明显，若 n 很小，完全没必要使用二分查找，直接顺序遍历就足够了。
但要注意一点，如果数据之间的比较过程非常耗时（比如两个长度超过300的字符串进行比较），那么就应该尽可能的减少比较次数，此时二分查找便比较适合。
数据量过大也不适合二分查找
主要原因是二分查找依赖数组这种数据结构，数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻，如果有 1GB 大小的数据，用数组来存储，那么就需要 1GB 连续的内存空间。
这个 连续 很可怕，即时有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，那么照样无法申请一个 1GB 大小的数组。
六、解答开篇题
如何在最大 100MB 内存的情况下，在 1000 万个整数中快速查找某个整数？
每个数据大小为 8 个字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的规则。然后将这 1000 万个数据从小到大排序，再利用二分查找算法，即可快速找到数据。
七、课后题
- 如何编程实现
求一个数的平方根？要求精确到小数点后 6 位。
我没做出来我也没看懂评论区各路大神的解析。。。 -
如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂度就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？
这个看懂了，直接截图评论区正确答案：
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