在七上的时候，我们学习了整式，和整式的加减，在小学的时候，接触的运算都是只有数，而到了初中，有了代数，也就是用一个字母表示，任意一个有理数。

代数式可以分为两类，整式和分式，而分式就是分母含有字母的数，整式就是分母不含字母的数，当然， 整式中也不一定有分数。整式还可以分成两类，单项式和多项式，单项式就是指数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，而单独的一个数或者一个字母，也是单项式，而多项式就是指几个单项式的和叫做多项式。我们今天主要要探究整式。

整式的加减，其实本质上就是合并同类项，同类项就是所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数都是同类项。而合并同类项就是把多项式中的同类项合并成一项就叫做合并同类项，其法则就是合并同类项时，把同类项的系数相加，字母，和字母的指数不变。

那么，当我们学习完了整式的加减之后，接下来就要学习整式的乘除，那么现在我就要来探索。

首先，乘法和除法是可以互逆的，所以他们本质上可以看为同一种运算。

同底数幂的乘除

同底数幂的乘法

挑战单

首先先是同底数幂的乘法运算，这是挑战单上的一些题，那么，这该怎么做呢？

首先我们看一下第一小问，10²×10³。我觉得可以把这个式子拆开，10²就是100，10³就是1000，那么原来的那个式子就变成了100×1000。 而这样的算法，在小学是学过的，所以我们可以很轻松的算出来，100×1000=100000。而10²×10³就等于100000。

在七上的时候，我们学习过科学计数法，就是把很大的数表示的简洁一些，那么100000就可以写成10⁵。这个时候，我就发现最后结果的指数，正好是前面两个数的指数的和。可是，这只是一个例子，那我们再来看一下挑战单上的第二小题，10⁵×10⁸＝100000×100000000＝10000000000000＝10¹³。而10¹³就是10⁵⁺⁸。第三题10ᵐ×10ⁿ，我们可以看作(10×10×10×……×10)×(10×10×10×……×10)。就是m个10相乘再再乘n个十10相乘。

那么我们暂时找到的结论是，同底数幂相乘，底数不变，指数相加

可是这只是一些特例得出来的结论，接下来用字母证明。

而这也证明了，同底数幂的乘法法则，就是，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示，就是aⁿ·aᵐ＝aⁿ⁺ᵐ。

幂的乘方与积的乘方

幂的乘方

幂的乘方，我们可以举个例子，比如（3²）³，也可以吧他写成（3·3）（3·3）（3·3），也就是6个3相乘。等于3⁶。

接下来再看一个式子(a²)³，同样，我们把这个式子拆开，先把括号里的表示出来，也就是a·a，那么，a·a的三次方就可以写成(a·a)·(a·a)·(a·a)，也就是a·a·a·a·a·a，等于a⁶，然后我们就可以发现，最后结果的指数6，就是前面两个指数2和3的乘积。

那么怎么用严谨的方法证实呢?用字母表示

懒得打字

那么我们现在得出的，结论就是，底数不变，指数相乘。

积的乘方

接下来就是，积的乘方。 比如一个式子

(3×5)⁴

＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)

＝(3×3×3×3)×(5×5×5×5)

＝3⁴×5⁴

最终我们发现，积的乘方其实也就等于乘方的积，但这只是用数字表示的一个特殊的例子，他并不能证明这个结论就是对的。

那么，用字母该如何运算呢？

同底数幂的除法

接下来我们就该探索同底数幂的除法，在探索到这儿的时候，我猜想，因为之前我们学过乘法和除法是互逆的，所以，也许同底数幂的乘法和除法也是一样，而我们刚才探索的同底数幂的乘法法则就是，底数不变，指数相加，那么逆过来，我大胆的猜想一下，同底数幂的除法，可能就是底数不变，指数相减？

那么接下来就开始证实，在挑战单上，有这样一道题

已知10⁵×10³＝10⁸，写出这个乘法算式对应的除法算式:

10⁸÷10³＝10⁵

除法，我们通常可以写成分数的形式，所以在我探究的时候也写成了分数的形式。那怎么证明？对应的这个除法算式一定就是合理的呢？接下来我就用分数证明一下

我把这个式子写成了分数的形式，接下来我就想利用分数进行运算，首先，我们可以利用分数的基本性质，把分母和分子进行约分

我们发现把分子和分母约分之后，就剩下了五个十相乘，而五个十相乘就可以写成10⁵， 由此我们可以知道刚才用乘法推过来的算式是对的，但特例并不能证明普通的一般规律。

那么，如何用严谨的数学推理探讨出同底数幂的除法法则？

比如

通过这个字母的证明，我们可以得到一个法则，同底数幂相除，底数不变，指数相加。

零指数幂与负整数指数幂

而刚刚我在途中标注(a≠0，m＞n)。也就是说，m必须大于n，这样最后的指数才能是一个正整数。那么，如果正整数m小于正整数n，怎么办？

如果是这样的话，那么，最后的指数一定是一个负数，而一个负指数，又会是怎样的呢？

我觉得可以利用正指数幂，得出一个规律，然后看是否可以，将其规律放在负指数幂上。

10⁴＝10000

10³＝1000

10²＝100

10¹＝10

在这几个式子中，我们可以发现，从上往下，十的指数依次减一，而随着指数的变化，最后的结果就是上面一个数的1/10，那么有了这样的一个规律，是否可以写出10⁰?

所以我大胆的猜一下

10⁰＝1

因为随着上面的规律，指数减一就变成了零，而最后的结果乘1/10，就变成了1。

那么，这是零指数幂，负指数幂，应该也一样吧！

10⁻¹＝0.1

10⁻²＝0.01

10⁻³＝0.001

(以此类推)

但是上这个推的规律是没有依靠的，所以我们现在可以用同底数幂的除法，来证明。

比如刚才我们说过同底数幂除法比如，10⁴×10⁵，我们可以发现，5大于4，那么如果根据同地数幂的除法法则，底数不变，指数相减，最终得到的结果是一个负数次幂，也就是10的-1次方，而如果我们用分数的形式来推导的话，也就是10·10·10·10/10·10·10·10·10＝1╱10。

最终我们可以发现，a⁻ᵐ＝1╱aᵐ

整式的乘除

整式的乘法

单项式乘单项式

整式的乘法可以分为单项式乘单项式，单项式乘多项式，和多项式乘多项式。

首先，单项式乘单项式，(指含有常数的单项式，这类就先不说了) 也可以把它拆分开，我们以一个题为例

3a²b·2ab³c²

首先，先乘系数3×2，然后再把同底数幂相乘，(a²·a)·(b·b³)·c²

＝6a³b⁴c²

各因式系数的积作为积的系数，相同字母的指数的和作为积里，这个字母的指数，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。现在我们可以得出单项式乘单项式的计算法则，单项式与单项式相乘的时候，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，然后其余的字母连同它的指数不变，作为积的一个因式。

单项式乘多项式

同样的，我们还是以一个题为例

比如

2ab(5ab²＋3a²b)

利用乘法分配律将括号拆开

2ab×5ab²＋2ab×3a²b

＝10a²b³＋6a³b²

运算法则就是，单项式成多项式，是通过乘法对加法的一个分配律，把它转化成单项式乘单项式，也可以理解为用单项式去成多项式的每一项然后再把所得的积相加。

多项式乘多项式

首先我们看一道题

(x＋2)(x－2)

首先，先用其中一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项

＝(x＋2)x－2(x＋2)

＝x²＋2x－2x－4

然后再把所得的积相加

＝x²－4

所以我们可以得出，多项式乘多项式就是先用一个多项式中的每一项乘另一个多项式，然后再分别乘那个多项式里的每一项，最后得到的积相加。

在多项式乘多项式当中，会有一些比较特殊的结构，比如平方差公式和完全平方公式，他们都属于乘方公式，也是多项式乘多项式中之一。

平方差公式

那么首先就是平方差公式，比如（a-b）（a+b）

首先，我们可以先利用乘法分配律将第二个括号里拆开，也就是用第二项里的每一项去成第一巷里的每一项，之后再去括号，最后我们可以发现用绿笔画上的两项可以抵消变成零，所以最后的结果也就是A方减B方。

而平方差公式的法则就是两个数的和乘两个数的积就等于2个数的平方差。

完全平方公式

完全平方公式也是一个很特殊的结构，比如（a+b）²，也就是两个A + B相乘，那么同样我们可以利用乘法分配律进行计算。

在第二部的时候我们可以发现其实完全平方公式和平方差公式中间也就错了一个符号，所以最后导致了A B没有被抵消，因为有两A B相加，随便成了A方+2A B + B方。

而完全平方公式的法则就是，2数的平方和+2数积的二倍。

整式的除法

首先，我们还是把整式的除法分一下类

单项式除以单项式

我们还是先以题为例

(－2r²s)²÷4rs²

＝(－2r²s)·(－2r²s)÷4rs²

＝4r⁴s²÷4rs²

＝r

单项式除单项式，首先，把系数和同底数幂分别相除，然后作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式

(6ab＋8b)÷2b

同样是除法，我们可以把它写成分数的形式，首先，让多项式里的每一项除单项式，再把商相加。

也就是6ab/2b＋8b/2b

然后再利用分数的性质约分

就得到了3a＋4

所以多项式除单项式的运算法则，就是先把这个多项式的每一项分别除那个单项式，最后再把所得的商相加。

多项式除多项式

多项式除多项式我们了解的并不多，我们只能进行简单的运算，比如说一些有规律的，可以利用平方差公式和完全平方公式的。而这些并非是普遍规律而是特殊的结构。

现在我们观察一下上面的这几道题，我发现，这些题，其实都与完全平方和完全平方差和平方差，是有联系的。因为他们其实是可以互逆的。

比如第一道题，我们发现其实第一道题中的被除数就是(a＋b)²，这其实也就是逆用了完全平方公式，那么我们就可以知道答案就等于a+b。

事实上整式的除法中应该还包括单项式除多项式只不过这里我们不做过多的提及，因为这些还没有学。

而学习完整式的乘除，那么接下来我们应该可以立马想到和整式的乘除相反的，也就是可以腻过来的因式分解，比如正式的乘除是从A到B，而相反，因式分解就是通过B到A，因式分解和整式的乘除是互利的，也就是说如果整式的乘除学好了，学透了，那么因式分解就会更容易。