时间序列分析及应用：R语言笔记

2019-11-04 本文已影响0人壮志_凌云

0001：从同一个随机变量，按照时间采样形成的随机过程，是严平稳的；

0002：独立同分布的随机变量组成的随机过程，是严平稳的；

0003： $X(t)$ 是平稳随机过程，则 $Y(t) = \sum_{i=1}^n c_i X(t + a_i)$ ，其中， $c_i, a_i$ 为参数，即 $X(t)$ 的滞后/提前的线性组合也是平稳随机过程；

0004： $X(t)$ 是平稳时间序列，则 $Y(t) = \nabla X(t) = X(t) - X(t-1)$ 也是平稳时间序列；一般的，平稳时间序列的 $k$ 阶差分也是平稳时间序列；

0005：由公式 $\sum_{i=1}^n cos(2ix) = \frac{sinnx * cos(n+1)x}{sinx}$ ，可得：

$\sum_{t=1}^n (cos(\frac{2 \pi m t}{n}))^2 = \sum_{t=1}^n (sin(\frac{2 \pi m t}{n}))^2 = \frac{n}{2}, 1 \leq m < \frac{n}{2}$

也有公式 $\sum_{i=1}^n sin(2ix) = \frac{sinnx * sin(n+1)x}{sinx}$

0006：若 $Y_t$ 是平稳过程，且 $\rho_{k} = 0, k>1$ ，则 $\vert \rho_1 \vert < \frac{1}{2}$ ，证明如下：

$Var(\sum_{t=1}^{n+1} Y_t) = 2(\gamma_0 + \gamma_1) + (n-1)(\gamma_0 + 2\gamma_1) = (n+1+2n \rho_1) \gamma_0 \geq 0$

$Var(\sum_{t=1}^{n+1} (-1)^{t-1}Y_t) = 2(\gamma_0 - \gamma_1) + (n-1)(\gamma_0 - 2\gamma_1) = (n+1-2n \rho_1)\gamma_0 \geq 0$

$\implies -\frac{n+1}{2n} \leq \rho_1 \leq \frac{n+1}{2n}, n \geq 0$

$\implies | \rho_1 | \leq \frac{1}{2}$

占位符；

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