习题 10-1

2019-02-27  本文已影响0人  Lupinus_Linn

2.用级数敛散定义判定下列级数的敛散性，如果收敛，试写出级数之和。
（1）\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {ln\frac{n+1}{n}}
发散
=\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}ln(\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\dots\times\frac{n+1}{n})
=\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}ln(n+1)\to\infty

（2）\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}
收敛
=\frac{1}{2}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})}
=\frac{1}{2}\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{3\times4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}
=\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}
=\frac{1}{2}

（3）\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}
收敛
观察知，位于Sn中间的项均会消掉，因为其会出现三次
\dots\sqrt{i+2}-2\sqrt{i+1}+\sqrt{i} \\ +\sqrt{i+3}-2\sqrt{i+2}+\sqrt{i+1} \\ \sqrt{i+4}-2\sqrt{i+3}+\sqrt{i+1}+\dots
这里\sqrt{i+1}被消掉了，所以只需要考虑两端
原式=\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}1-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}
其中\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}=\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=0
所以原式=1-\sqrt{2}

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