王梓瑜讲义1.22 方程

2020-01-22  本文已影响0人  苏格兰低地弟弟打滴滴

一次方程组

【例题】：已知关于x，y的方程组\left\{\begin{array}{l}{a x+2 y=1+a} \\{2 x+2(a-1) y=3}\end{array}\right.，分别求出当a是何值的时候，方程有(1)唯一一组解   (2) 无解   （3）无穷多组解

a=2 无穷   a=-1  唯一

根式方程

分子有理化是常用的方法

【例题】解方程\sqrt{x^{2}+3 x+7}-\sqrt{x^{2}-3 x+4}=3





特殊方程

【例题】：解方程组\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}} \\{\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}} \\{\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}}\end{array}\right. 

（在适当的时机做一些换元）

【例题】：a,b,c是三个不同的非零实数，解方程\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{a^{2}}-\frac{y}{a^{2}}+\frac{z}{a}=1} \\{\frac{x}{b^{2}}-\frac{y}{b^{2}}+\frac{z}{b}=1} \\{\frac{x}{c^{2}}-\frac{y}{c^{2}}+\frac{z}{c}=1}\end{array}\right.

（换个主元试试）

【例题】：如果\frac{x}{3^{3}+4^{3}}+\frac{y}{3^{3}+6^{3}}=1, \frac{x}{5^{3}+4^{3}}+\frac{y}{5^{3}+6^{3}}=1那么x+y=

【例题】：若：

求x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}

（和上题处理方法类似）

【例题】：解方程组：\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+2 y z=x} \\{y^{2}+2 z x=z} \\{z^{2}+2 x y=y}\end{array}\right.

【例题】：解方程\left\{\begin{array}{l}{x \sqrt{y z}+y \sqrt{x z}=39-x y} \\{y \sqrt{x z}+z \sqrt{x y}=52-y z} \\{z \sqrt{x y}+x \sqrt{y z}=78-z x}\end{array}\right. 

【例题】：解方程组\left\{\begin{array}{l}{x^{2}=1+(y-z)^{2}} \\{y^{2}=2+(x-z)^{2}} \\{z^{2}=3+(x-y)^{2}}\end{array}\right.

【例题】：已知\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)}, a, b,c互不相等，求证8 a+9 b+5 c=0

高次方程

【例题】：解方程\left(x^{3}-3 x^{2}+x-2\right)\left(x^{3}-x^{2}-4 x+7\right)+6 x^{2}-15 x+18=0

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