矩阵与线性方程组

2019-11-06 本文已影响0人暴走TA

线性方程组可以用矩阵来表示
以下是一个样例方程组
$3x+2y-3z=-13$
$4x-3y+6z=7$
$x+0y-z=-5$
系数矩阵，指由方程组系数组成的矩阵
样例方程组的系数矩阵为
$\left[\begin{matrix} 3 & 2 & -3 \\ 4 & -3 & 6 \\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right]$
常数向量，指由方程组常数项(常数需移到等式右侧)组成的向量
样例方程组的常数向量为
$\left[\begin{matrix} -13\\ 7\\ -5 \end{matrix}\right]$
*增广矩阵系数矩阵和常数向量拼成的矩阵叫增广矩阵
样例方程组的增广矩阵为
$\left[\begin{matrix} 3 & 2 & -3 &-13\\ 4 & -3 & 6 &7\\ 1 & 0 & -1&-5 \end{matrix}\right]$
齐次线性方程组
常数向量为为0向量的方程组为齐次线性方程组
非齐次线性方程组
常数向量不为0向量的方程组为非齐次线性方程组
初等行变换(类似于解方程组时的消元法)
交换任意两行
用一个非零的标量乘以任意一行
将任意一行的倍数加到另外一行(可以是负倍数)
简约矩阵
对所有的非零行，左面第一个元素也称首元，为1
所有非零行都位于矩阵的底部
一行的首元所在的列上其它位置不存在非零元素
任意两个非零行下面首元的列位置一定在上面首元列位置的右侧。
简约矩阵
$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right]$
非简约矩阵
$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right]$