Week 10

2021-05-17 本文已影响0人悟空金月饺子

Herman Verlinder, "Deconstructing the Wormhole: Factorization, Entanglement and Decoherence"
解构wormhole！

wormhole的研究又开始进入了主流，虽然已经开始吸引大家的注意，但是并没有像AdS/CFT那样让人信服，很多时候，并不清楚到底我们要解决什么问题。或者说怎样把在这方面的进展和之前的结果联系起来。问题主要有两个：

怎样去理解 replica wormhole 还有类似于double cone geometry这类spacetime wormhole；
我们能用他们来解释其他的问题吗？

这两类wormhole，从本质上来说，还是很不一样的，分别计算了不同的物理量。

Replica wormhole

当我们讨论replica wormhole的时候，其实我们是在考虑一个density matrix $\rho=|\chi\rangle\langle\chi|$ 或者是一个wavefunctional $|\chi\rangle$ ，给定了一个边界态 $\phi$ ，就可以具体的写出这个wavefunction $\langle \phi|\chi\rangle$ 。所以我们计算 $\text{Tr}(\rho)=\sum \langle \phi_i|\chi\rangle\langle \chi|\phi_i\rangle$ . 如果 $\chi$ 是一个纯态且可以normlized，那么这个trace就是计算 $\chi$ 的normal，可以归一化为1. 我们也可以想象， $\rho$ 是一个reduced density matrix $\rho_R$ ，就是我们trace 掉系统的一部分。对于一个mixed state，我们就没有了wavefunctional 的描述了。但是我们还是可以用一个路径积分来描述这个reduced density matrix。比如我们可以purify这个mixed state的到另一个pure state，然后用路径积分来描述这个wavefunctional。
对于 $\rho^2$ ，如果我们知道了所有的 $\rho_{ij}$ ，让可以直接算出 $\rho^2$ ，但是实际操作的时候，就是要制备很多的 $\rho$ ，然后去算测量不同矩阵元。比如我们想算霍金辐射的 $\rho$ ，那么我们要准备很多这样的黑洞系统，然后分别收集霍金辐射。但是我们不可能真正制备很多这样独立的系统，因为他们都是被引力couple起来的，虽然可以argue 这些黑洞系统可以离的很远，然后可以忽律引力的couple。或许这里可以得到的测不准不等式，也会存在一个purity的lower bound。也就是我们无法精确测量 $\rho_{ij}$ 。如果我们把 $\rho_{ij}$ 看做是一个散射振幅，那么我可以的测量结果可以写成
$\rho_{ij}=\rho_{ij}^{(1)}+\rho_{ij}^{(2)}+\dots$
这里， $\rho_{ij}^{(1)}$ 是指辐射 $i$ 碰到黑洞1然后到 $j$ ，而 $\rho_{ij}^{(2)}$ 是说辐射 $i$ 穿过黑洞1来到另外一个黑洞2然后到 $j$ 。这里描述也是schematic的，可能不是完全正确。不过核心的想法就是，当路径积分涉及到黑洞的时候，要多考虑的一种可能是，黑洞的内部可能互相连接形成虫洞。

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Spacetime wormhole

所有具有多个边界的引力的解都可以认为是wormhole。假设有两个这样的边界，欧式的话，每个边界上有一个thermal circle, 参数为 $\beta$ ，那么我们计算partition function $Z(\beta_1,\beta_2)$ ，这个结果应该不等于 $Z(\beta_1)Z(\beta_2)$ .
在AdS/CFT的图像下，我们考虑一个CFT，或者一个更一般的量子混沌理论。混沌的量子理论有一些universal的行为，比如他的spectrum form factor
$\langle Z(\beta)^2\rangle=\lim_{t\rightarrow\tau_\infty}\langle Z(\beta+it)Z(\beta-it)\rangle$ . Spectral form factor 随时间的变化具有几个阶段，slope，ramp，plateau。slope 就是开始的decoherence的阶段。而plateau是最后完全dephasing然后saturate的阶段，但是中间为什么会出现换一个ramp的拐点，我们称为dip，呢？
从SYK还有JT引力的例子来看，有些人认为是因为出现了新的saddle point， $\langle Z(\beta+it)Z(\beta-it)\rangle$ 是由一个 $Z(\beta_1,\beta_2)$ 这样的wormhole saddle，称为double trumpet或者double cone geometry 得到。
我们可以怎样理解这件事呢？
我们考虑TFD
$|TFD(t)\rangle=\sum_i e^{-(\beta/2+it)E_i}|i\rangle_L |i \rangle_R$
那么我们发现
$Z(\beta+it_{})Z(\beta-it_{})=\text{tr}(\rho_{TFD}(t)\rho_{TFD}(0))=\sum_{i,j }e^{-\beta(E_i+E_j)}e^{-it/h (E_i-E_j)}$
这里有个干涉项，如果 $h\rightarrow 0$ or $t \rightarrow \infty$ 我们期待 $e^{-it/h (E_i-E_j)}\sim \delta_{ij}$ ，这时我们有 $\langle Z(\beta)^2\rangle=Z(2\beta)$ . 也可以认为我们做了一个time average
$\langle \cos(t\omega)\rangle=\frac{\sin T\omega}{T\omega}\sim \delta(\omega)$
一种理解方式是 $\rho_{TFD}(t)$ 在后期的时候失去了它的相位，可以假设它与环境相互作用发生了decoherence最后完成了dephasing。