Week 2-2

2020-03-30 本文已影响0人忻恆

${\rm A}{\rm A} ^ {\ -1} = {\rm I}$ ， ${\rm A}{\rm a}_{\ i} ^ {\ -1} = {\rm e}_{\ i}$ , 也就是说，只需要解n个左边的方程组即可。

那么就回到原来的问题了，通过构建RREF求解。

我们可以将Idetity Matrix 的所有 Column Vectors 都加在矩阵的右边，因为操作都是相同的。

所以，右边的每一列都是Inverse Matrix 的列，也就是Inverse Matrix。

LU Decomposition

the Gaussian elimination procedure actually gives us a matrix decomposition， we can also write A as L times U。

first to get L，

elementary matrix：An elementary matrix is the identity matrix with one of the zeros replaced by a number.

Gaussian elimination 就是简单的矩阵操作，所以可以将其每一步分为一个左乘矩阵（行操作），这就是LU分解。

此时,L就是所有操作的逆矩阵的乘积，注意顺序。

求逆矩阵其实就是 trivial，就是element 取反!

同时，矩阵相乘其实就是将几个矩阵合并，并不需要做矩阵乘法。

if you want to solve AX equals B with many different Bs,

and a lot of numerical methods have this feature,

then if you first find A equals LU and solve LUX equals B,

you can do that very fast,

much faster than Gaussian elimination.

当已经有了A = LU后，再次求解 Ax = B 就简单多了！