統計學(Statistical)重點整理-3

2018-08-28  本文已影响0人  RJ阿杰

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台灣交通大學 統計學(一) Statistics I 唐麗英老師

[統計學筆記及整理]

第五章 連續型隨機變數(Continuous Random Variables)

隨機變數(R.V.)的兩種型式

  1. 定義：離散型隨機變數 (Discrete Random Variable)
    – 離散型隨機變數為計數值的隨機變數(計數)。
    – 例：生產線上某次抽檢之不良品的數目
  2. 定義：連續型隨機變數 (Continuous Random Variable)
    – 連續型隨機變數為連續值的隨機變數(量測)。
    – 例：厚度、重量與長度

累加函數 The (Cumulative) Distribution Function

P(x)=0(x<1)，P(x)=1/4(x=1,2,3,4)，P(x)=0(x>4)

連續隨機變量的密度函數(The Density Function for a Continuous Random Variable)

－如果X是連續的R.V.，則X取任何特定值的概率為0：

－如果X是連續的R.V.，那麼

期望值和綜合性指標(Expected Values and Summary Measures)

•衡量機率函數“重心”之指標(Measure of the Center of a probability Function)

•衡量機率函數”變異”之指標(Measure of the variability of a Probability Function)

衡量機率函數”變異”之指標：差異(變異)或標準差

a)（3X-5）= Y，E(Y) = 3＊E(X)－5 = 3＊5－5 = 10
b)（3X-5）= Y，Var(Y) = 32＊102 = 9＊10 = 90
c)（3X-5）= Y，Std(Y) = Var(Y)1/2 =901/2

a)
E\left(X\right)= \int_0^1x\cdot2x\cdot dx=\frac{2x^3}{3} \Bigg|^1_0 =\frac{2\cdot1^3}{3}-\frac{2\cdot0^3}{3}=\frac{2}{3}=μ_x
b)
E\left(X^2\right)=E\left(g\left(X\right)\right)=\int_0^1g\left(X\right)\cdot f\left(x\right)=\int_0^1x^2\cdot2x\cdot dx=\frac{2x^4}{4} \bigg|^1_0=\frac{1}{2}
Var\left(X\right)=E\left(X^2\right)+μ_x^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{18}
Std(X)=\sqrt{Var\left(X\right)} = \sqrt{\frac{1}{18}}

對c.d.f. 做積分
f\left(t\right)=0\ \left(t<0\right)，f\left(t\right)=\frac{1}{2\sqrt{t}}\ \left(0\le t\le1\right)，f\left(t\right)=0\ \left(t>1\right)
E\left(T\right)=\int_0^1t\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}\cdot dt=\int_0^1t\cdot\frac{1}{2}\cdot t^{\frac{-1}{2}}\cdot dt=\int_0^1\frac{1}{2}\cdot t^{\frac{1}{2}}\cdot dt=\frac{t^{\frac{3}{2}}}{3} \bigg|^1_0=\frac{1}{3}=μ_T
Var\left(X\right)=E\left(T^2\right)-μ_T^2=\left(\int_0^1t^2\cdot\frac{1}{2}\cdot t^{\frac{-1}{2}}\cdot dt\right)-μ_T^2=\left(\frac{t^{\frac{5}{2}}}{5}\bigg|^1_0\right)-μ_T^2=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{4}{45}
Std(X)= \sqrt{Var \left( X \right) }= \sqrt{ \frac{4}{45} }

連續型機率分佈(Continuous Probability Distributions)

•π=數學常數近似為3.1416
•e =數學常數近似為2.718
•μ=總體均值或真實平均數
•σ^2=總體方差
•以N（μ，σ）表示

設 Z~N(0, 1)，請利用表 C 值：
1)P(Z < C) = 0.95，0.95 - 0.5 = 0.45，C=1.645
2)P(Z > C) = 0.7019，0.7019 - 0.5 = 0.2019，C=0.53
3)P(Z > C) = 0.1379，0.5 - 0.1379 = 0.3621，C=1.09
4)P(Z < C) = 0.0110，0.5 - 0.0110 = 0.489，C=2.29


齊一分佈(Uniform Distribution)

a) X < 3，\int_0^3\frac{1}{10-0}\cdot dx=\frac{x}{10}\bigg|^3_0=\frac{3}{10}
b)X > 6，\int_6^{10}\frac{1}{10-0}\cdot dx=\frac{x}{10}\bigg|^{10}_6=\frac{10}{10}-\frac{6}{10}=\frac{4}{10}
c)3 < X < 8，\int_3^8\frac{1}{10-0}\cdot dx=\frac{x}{10}\bigg|^8_3=\frac{8}{10}-\frac{3}{10}=\frac{5}{10}

150~200機率密度為1/50
(a)
E\left(X\right)=\frac{150+200}{2}=175
Var\left(X\right)=\frac{\left(200-150\right)^2}{12}=208.3
Std\left(X\right)=\sqrt{208.3}=14.432
(b)
\int_{150}^{160}\frac{1}{50}\cdot dx=\frac{x}{50}\bigg|^{160}_{150}=\frac{160}{50}-\frac{150}{50}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}，良品比不良品=4:1

珈瑪分佈(Gamma Distribution)

由於Y = 15個月的平均值（μ+σ= 8 + 5.7 = 13.7個月）不超過1個標準差，我們不會將15個月視為Y的異常大的數值。因此，我們可以得出結論， 證據不足以表明公司新的質量控制計劃在增加投訴之間的平均時間方面是有效的。

指數分佈(Exponential Distribution)

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