伯努利不等式

2019-10-17  本文已影响0人  洛玖言

伯努利不等式

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_n,
其中，x_1,x_2,\cdots,x_n 是符号相同且大于 -1 的数.

证明：
思路是用数学归纳法.
当 n=1 时，等号成立.
设 n=k 时，不等式成立，有：
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_k,
对于 n=k+1 时，有：
\begin{aligned} &(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)(1+x_{k+1})\\ \geqslant&(1+x_1+x_2+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})\\ =&(1+x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1})+(x_1x_{k+1}+x_2x_{k+1}+\cdots+x_kx_{k+1}) \end{aligned}
又有 x_ix_j\geqslant0 ，所以：
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_{k+1})\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}
所以对于 n=k+1 时，不等式也成立.
因此对于任意整数 n ，都有不等式：
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_n.

常用

当 x_i=x>-1 时，都有不等式
(1+x)^n\geqslant1+nx
成立.

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