一起来学统计学——连续型随机变量的概率

2019-06-07 本文已影响0人三点水滴

上一篇总结了离散型随机变量的概率——概率函数和分布列。

如何理解连续型随机变量的概率

连续型随机变量与离散型随机变量不同，我们不能求得连续型随机变量在单独一个点时的概率，即

$P(X=x_i)=0$

如何理解连续型随机变量的概率是一个关键点。按照定义，连续型随机变量的取值充满一个区间，是无法一个个列举出来的，如定义在 $[1, 2]$ 上的连续型随机变量 $X$ ，可以有无数个值；让 $X$ 取某一个值，其概率显然是非常小，以至于几乎不可能发生。

基于以上的考虑，我们用概率密度函数来刻画连续型随机变量的概率，简称密度函数(对应于离散型随机变量的概率函数)，表示的是当 $X=x_i$ 这一点附近概率的分布情况。可以类比为一根重量为1的铁棒上，每一点上的重量，即密度。

在给出连续型随机变量的概率密度函数的定义之前，首先要补充一个概念——分布函数。

设有定义在 $(-\infty, \infty)$ 函数 $F(x)$ ，有：

$F(x)=P(X{\leq}x)$

即 $F(x)$ 在 $x$ 处的取值为随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 时的概率。需要注意的是，分布函数对于离散型和连续型随机变量都有定义。

概率密度函数是定义在概率分布函数的基础上的，即

$f(x)=F'(x)$

也就是说，概率密度函数是概率分布函数的一阶导数。

与离散型随机变量类似，根据密度函数不同，连续型随机变量有如下重要的概率分布。

$f(x)=\frac{e^-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}{{\sqrt[2]{2\pi}}\sigma}$

其中， $-\infty<x<\infty$

正态分布作为最重要的连续分布，其含义可以简单理解为中间高两头低。如统计一个班级里所有学生的身高，结果就是符合正态分布的。