我从事课外数学培训15年，找我辅导的孩子原因都很简单：数学太难学，在学校学不明白！

有一次，一个妈妈带着儿子来到我的办公室，妈妈一张嘴，让我想起了新闻播音员，字正腔圆，谈吐优雅，可是谈论的内容却让我感受到这位妈妈内心的焦虑和无奈：“老师，我们家这孩子，小学数学从没让我操过心，一上初中，数学成绩就掉了下来，之前我以为可以帮他辅导，于是带着他一起找原因，整理错题本，和他一起做作业，一起做辅导书，以为能好点，谁曾想，这次期中考试，不升反降，都不及格了。我是彻底没辙了，你说这问题出在哪啊？”

我撇了一眼孩子，孩子心虚地挪开了目光，眼神中透着一丝茫然，我没有接妈妈的话，转头问孩子：“你觉得你考试时，看到题目时，心里在想什么？”

孩子皱了一下眉头，沉吟了一会，低声地说：“感觉自己见过的题，我就努力回忆当时的情景，可是怎么想也想不起来，要是看到那些自己没见过的，我看都不想看.....”

我对妈妈说：“孩子的问题很普遍，很多小学跨入初中，初中跨入高中，都会出现这种难度提升，学习迷失的状况。

而这种状况，出现在数学学科上，从根本上来讲，就是，在他意识中数学是一门只要记住如何计算，如何模仿计算过程得出答案就可以学好的学科。于是，见过的题用回忆做题，没见过的就不做了，因为回忆是空白的，把数学当作记忆性的学科，这是他们在小学学习中造成的错觉，而因为完全没有养成数学思维，以至于当初中需要记忆的信息一多起来，他们就会无所适从了。”

妈妈张了张嘴，没有发出声来，最后还是没忍住：“老师，你说的这个我也知道，我知道数学思维很重要，可是怎么养成呢？孩子现在怕数学，躲避数学，那么抽象的数学思维更无从谈起，而且学校老师也不教这个呀，他们只教如何做题，如何得答案，如何得分。”

是呀，这种老师不教，父母不会，对孩子又至关重要的数学思维，到底怎么培养啊？

回答这个问题之前，我们先回答第一个问题：孩子为什么觉得数学难学？

孩子为什么觉得数学难学？

“人工智能之父”，作为人工智能领域第一位获得图灵奖的学者马文·明斯基，在致力于“每个孩子一台笔记本电脑”项目时，试图把计算机技术交到全世界儿童的手中，为这个项目写了五篇文章，阐述了他对于未来教育的理念和见解，被收录成了下面这本书《创造性思维：人工智能之父马文·明斯基论教育》

在书中第二篇文章《学习数学的障碍》，作者开篇就回答了这个问题：

为什么总有孩子觉得数学难学？我怀疑，这是我们通常从练习“算术”的技巧开始学习的缘故。在学习算术的过程中，我们专注于避免各种错误，而非开发创造力。我也怀疑，这种对于避免错误的强调，会导致许多孩子不仅不喜欢算术，还会在未来抗拒一切带有技术性质的事物，甚至可能造成对于符号化表示的长期性厌恶。

如果去浏览一下我国小学人教版数学课本目录，会发现一个事实：算术贯穿整个小学阶段，从一年级简单的加法计算，到六年级分数的加减乘除，孩子们“快乐”童年有6年是和基础计算“纠缠”在一起（其实初一初二也还是计算，只是加入了字母计算而已）。

无独有偶，美国的K-8（相当于1到8年级）的数学课程标准要求也差不多。以我十几年对高年级学生思维习惯的观察和分析，结合马文·明斯基的论述，传统的课程教学安排有如下几方面的影响。

一、对数学学习意义的迷失

从练习“算术”技巧开始的学习，令孩子们将“数学”想象成一连串持续不断的机械化任务——永无止境的练习和训练。

而完成这些任务，孩子还必须遵循很多特定的、严格的技法和规则，这种死板的规则和技法的练习，令人生厌的同时，又无法与自己的生活联系起来，找不到日常生活和数学概念，数学计算的现实连接，孩子们就无法产生“学习数学”的意义感和内在动力，这时，数学成了一个无聊乏味且极其痛苦的必修任务，这项任务将持续6年又6年。

小学的时候，孩子即使有这样的内在感受，他也不明白是怎么回事，也还不会表达，等慢慢长大了，这种“数学意义”的迷惑会越发的明显，我听到过很多诸如此类的疑惑：

“老师，我学习这个数列，跟我以后的生活有什么关系？”

“老师，我去菜市场买个菜，还会和大妈算一个二次函数的最大值吗？那如果不用，我学习这个到底可以用在什么地方，如果没有用，我学它干嘛？就是为了高考吗？”

“这进水口出水口的应用题，出题的人有病吧，放个水，你干嘛两个口一起开放，多浪费水啊，现实生活中，哪有这种工作态度和工作方式？”

......

二、对“正确”的过分强调，专注于避免各种错误，导致孩子们体会不到“数学之美”

1、结果导向导致学习误区，以为学数学=刷题

传统的数学教学，计算要有正确结果，解决问题有老师教的正确解法，思考问题有正确的思路，写题需要有正确的格式.....所有的都必须正确，最后得高分，于是，数学学习成了“记忆”学科，记住规则，记住法则，记住解题过程，模仿正确解法，不需要创造，学校老师也不提倡创造，创造性解决问题成了“少数”学霸学生的特权。

久而久之，孩子们误以为数学学习的全部就是计算出正确的结果，数学学习的终点就是“写出答案”，这种结果答案导向的学习，忽略了一切基础学科最重要的一点：概念的学习。

在很多孩子看来，数学的概念都是只需要意会不需要理解，以至于到了难度加大的高中大学，在没理解那些“专有名词”的概念就迫不及待地做题，以为学习就是做题，就是刷题，刷题就能提高数学成绩。

我在教学过程中，问过太多高中生：数学不好，你打算怎么办？

回答都是：多做啊.....

这就是开头那个妈妈也会犯的错误，以为数学学习就是做作业，做辅导书，完成这两步工作，应该就能提高。却忘了：做题只是为了让学生在巩固所学的概念，并且深刻理解那些概念，并迁移它的内涵和外延用于解决一些新的问题。

小学时很多认真学习、按时完成作业的孩子，成绩都不会差，就是因为，一个学期所学的概念很少，需解决的问题类型也较少，老师上课+作业基本能覆盖，孩子都见过，且都能模仿，也无需创造。考试考的基本上就是平时见过的，只要记忆准确，几乎都是高分。

越往高年级，概念越多，问题类型越来越多，曾经有一个比喻：老师上课教和面，作业练习擀饺子皮，而考试考的是烙馅饼。

孩子们一旦发现记忆不能调用，就傻眼了，再延用小时候的学习惯性：“机械地练习和刷题”往往收效甚微，在“投入-产出”严重失调的情况下，孩子往往对自己在数学学科上的能力自我怀疑，陷入不会→不懂→不感兴趣→不学→不听课→更加不会的死循环。

最后结论就是：数学好难学！

2、消弱了孩子的估算能力，剥夺了心算机会。

过于强调“正确”的结果，以至于传统教学，从小就不鼓励孩子心算，因为练习之初，不熟练心算更容易出错，还是老老实实列式计算吧。

但是心算是思维练习中，大脑模拟现实场景进行事态推演和估计的最初级应用场景。这种推演一般会伴随着采取相应的行动，做出相应的决策。

而且心算还伴随着“估算”，因为强调正确性，“估算”也不被提倡，殊不知“浮点”计算更适合日常生活中的问题，估算是人们决策思维中必不可少的一个环节。

长期锻炼心算能力，对于孩子数学计算的准确性，对于问题解决的预测性都有非常长远的好处。

3、写出结果即为数学解题结束，使得孩子们缺乏反思能力：对思考本身进行思考。

我教过一个这样的学生，来找我的时候已经高三了，特别想提高数学成绩，当时我给他上课，讲题过程中我一般会问一些简短的问题，促进孩子思考。

当有些问题，他回答不上来的时候，他就会看着我，眼神中充满着对答案的渴望，我一般都会停顿，主要目的是想让孩子多想想，但是他的眼神告诉我：你快宣布答案，我等不及了。

每当我把问题的结论告诉他时，孩子会一副恍然大悟的模样，然后立刻把解题过程往后推进，而且他给我的感觉就是：刚才卡住回答不上问题的那个人不是我本人！

我会问他：“刚才那个问题，你想通啦？”

他成竹于胸地回答：是呀。而下一次，他还是会在相同的地方卡住。

每次做题，对答案的时候，对了就打个勾，错了就把答案改过来，然后继续，不会在错的题目上做任何的停留，这种情形，都说明了一个心态：数学就是为了结果，结果的对错判定意味着学习的结束，之于为什么对，为什么错，不是我应该考虑的。

孩子们从小关注“计算结果”的最后一个影响就是：养成了不关心对错，不反思，不总结，不提炼，不整理自己的思考。

随着年龄的增长，孩子们无论是在学科学习方面还是社会所需的能力学习方面，更多的是根据已有知识去做应用和迁移，或者在以了解问题的解决方案的基础上去生成自己的应对新问题的解决方案。

因为不可能在学习过程中让孩子见过所有的问题。所以对于自己学习过程的反思和总结就显得尤为重要了。

三、贫乏的数学语言，让孩子感受不到学习数学的乐趣。

1、对“符号化”产生长期的厌恶和恐惧

看一下下面几张图，看到这么复杂的式子，大家的第一反应是什么？

眼晕？

跳过？

除非你受过这方面的专业学习，否则你和孩子一样，同样有“符号厌恶”。

为什么呢？因为数学学科的特殊性，它一直提倡“简洁”的符号语言表达文字语言，抽象化、公式化、概括化，这就造成了这个学科，需要先掌握只属于这个学科的一些专有名词才能学习下去。

另一方面，它的专有词汇并不多，每一个学习阶段学习的也相当有限，孩子们接受数学信息，在开始阶段，主要注意力都放在这些生僻的词汇上，而且除了学习这一科，其他时候几乎用不上，长期使用这些少而且表达生硬的术语、公式，孩子们很难把自己的思考延伸到更深层的维度上去,比如应用，迁移，意义等方面。

为什么？因为这些创造性的思维活动，需要使用思考者熟悉的语言，而孩子们面对的数学“语言沙漠”，因为表达生疏，使得思维不畅，语义生涩，想不明白，说不明白，怎么能感受得到“精神”上的愉悦，“思想”上的通顺，大脑根本不愿意在“数学”上浪费能量和资源，怎么喜欢的起来？

而且这种状态在小学阶段，表现就是对大段的应用题表现出理解障碍，在初高中，表现就是对复杂的公式强烈的排斥，看都不愿多看一眼，更别说理解和应用了。

2、抗拒一切带有技术性质的事务

数学很多思考需要“推理”，很多条件需要“解读”或者称之为“技术处理”，长时间的计算训练，养成机械应对问题的思维定势，需要做“技术性处理”发自内心的不愿意，长此以往，孩子会给自己贴个标签：不会，学不好。进而，抗拒一切带有技术性质的事物：机械、工程、计算机、物化生等专业涉及的各种知识和事物，在没有新高考改革时，大部分选择学文科的孩子都是因为这个原因。

总结一下，因为传统教学体系中的算术所占的时间很长，对孩子的数学思维造成了一些长期性的影响，不了解学习数学的意义，以结果为导向的学习，扼杀了孩子的创造力和反思力，看见符号就抗拒，看见大段文字也抗拒，从而抗拒学习数学这一科。

到底什么是数学思维？

我用这么大的篇幅讲解为什么孩子觉得学数学难，是为了能告诉数学之所以难的底层原因，只有搞清楚了问题的本质，才能对症下药。

数学思维是什么呢？用数学的观点、方法和角度思考问题和解决问题的能力总称为数学思维。

所以数学学习的目标应该是：学会如何使用数学知识和数学的思考方式，解决问题，再进一步总结出一般规律，并学会把方法迁移，提升在生活中工作中学习中解决实际问题的能力。

数学思维包括下面四层思维能力：

第一层：比较、猜想、转化、归类，分析和综合

这些是入门的一些思维能力，但是会贯穿整个学科学习的始终，尤其是分析和综合，不是表面的意思，分析是指从条件出发，一步步得出结果的思维过程，综合是指从要解决的问题出发，往后倒推，看需要满足什么条件，再一步步推导到已知的思考过程。

第二层：一般到特殊、特殊到一般、抽象化、模型化、概括

这个层级会高一点要求，实际上也是一种认知的规律，先从特殊的事物，或概括出一般属性，或抽象成一般性的模型，得出一般的特征，再从一般的特性中去寻找一些特殊性，建立认知事物的全面性。

第三层：归纳推理、演绎推理和类比推理

这个层级是数学的逻辑思维层面，因为这三个就是逻辑思维的三种方式。

下面图中的两句话就是典型的演绎推理，演绎推理就是：理由+理由+理由→结论。

归纳推理就是：A1是D，A2是D，A3是D，所以所有A都是D。

到了这个层级，推理能力是思维的基础，它将指导学习、解决问题时候的思考。

第四层：合乎逻辑的阐述思想和观点，总结出事物的一般性规律并应用于实践。

到了这一层，就到了数学思维的最终要求，能够把观点清晰地表达出来，并能归纳一般性本质性规律，并且迁移到其他实际场景中解决问题。

简单来说，数学思维的培养要聚焦于“孩子自己能解决问题”，而不是数学表面的那些知识和规则。

如何培养孩子的数学思维呢？

一、建立数学学习的“认知地图”

马文·明斯基在那篇文章《学习数学的障碍》写到：

孩子欠缺一幅“认知地图”，因此不知道学习这门学科会产生什么作用和效果。他不知道数学在未来能发挥什么作用、它能帮助孩子自身实现什么目标和抱负。

什么是“认知地图”？

举个例子，疫情期间的某一天，我给一个高一的孩子提前预习新课，新课的内容的《立体几何初步》，我在开始上课的第一句话就是：我们来看看这一章的目录。带他看完目录，我接着掏出手机，查到他们数学教科书还没有教到的那几本的电子书目录，问他：后面还有哪些部分和这个“初步”是联系在一起的？

他看着后面的目录找到了后续会学的部分，我有回到这一章，对他说：这一章五个小节，分几个大的部分？和之后要学内容组成了一个什么样的体系？你学的这些和你学的其它内容有什么关系？......

我的这个举动就是给孩子在面对一个新知识时，告诉他，他即将面对的知识模块处于学科认知地图的那一块，有几站，每一站为什么是这么个顺序，学完之后有什么意义？

如果要让孩子产生更足够的内在动机，你还得说明这个模块在高考中的地位。学好它能给孩子带来多少分。

这就是一个小型的“认知地图”的应用。

无论是数学学习还是其他任何学科，都需要认知地图的建立，先给孩子构画出整个“学习旅程”的大型地图，然后把大地图的每个区块分好，每次学习新知识时，告诉孩子，这是地图的哪一站，为什么学这一站，下一站在哪，还有什么岔路，过程中还会遇到什么风景，等等。

总之“认知地图”可以赋予孩子学习知识的意义。

构建“认知地图”要帮着孩子回答这么几个问题：

1、我正在做什么？

2、为什么做这个？

3、接下来会做什么？

4、为什么是接下来要做这个？

5、什么时候，什么地方，我能发现我学的这些的用处？能用来做什么?

当他们得到这几个问题的回答后，他们会把迷失的数学意义给补回来。

二、把对思维方式的思考作为数学学习的终点

在解决问题结束之后，或者在达成某个目标途中卡壳了，如果能尝试“思考刚才的思维方式”，就会非常快速地提升孩子的数学思维能力。

下面有一些诊断思维的武器：

1、类比推理：如果问题看上去很熟悉，过去解决过类似的问题，而且能解决有问题之间的差异带来的问题，那么可以重用以前的解决方案。并把解决方案与问题链接在一起；

2、改变对问题的描述：解决了的问题，描述相似问题的共性，起个名字，作为这种类型题在你心中的代号；卡壳的问题，用更多的表面信息和储备信息去描述问题，找到解决问题的线索；

3、分解问题：一个复杂的大问题，分解为几个子问题，用类比推理解决熟悉的子问题，再集中火力解决不熟悉的子问题，这里也会用到对问题的重新描述；

4、反思：用复杂的方法解决完问题之后或者发现使用的方法过于复杂，反问自己：还能找到更好的方式吗？一题多解，是数学学习融会贯通最好的技巧，但也是以结果为导向的学习中最欠缺的学习素质。

5、知其所以然：回溯你使用的所有知识，你能够补充你的认知地图，知道认知地图中的内容有哪些实际的用途，并把认知地图自我补充完善。也就是回答这些问题：这道题的解决过程中我使用了哪些知识，用了它的哪个方面？

三、在数学中加入写作

很多人都不能理解，写作跟数学有什么关系。

实际上，学数学方面的文章能帮助学生巩固他们的想法，因为这需要他们去反思工作，以及用自己的词汇去理清他们在课堂上产生的想法。这是对缺失反思能力以及贫乏的数学语言的一个有效补充。

写作对于数学的益处有：

更有效率地学习数学概念

永久性地记录一些想法，便于回忆和反思

整理想法，探索知识的新应用，解决包括枯燥算术在内的问题

通过孩子与学科以及学习内容的互动，帮助孩子建立学习的意义

无声对话中，帮助孩子内化知识，并能清晰表达出来，使得大脑神经元的多路径连接

在数学学习中引入写作，推荐一些写作策略：

①阐明写作的目的，不能让孩子排斥写作

②写作之前，先复习“生僻”的专有词汇

③避免照抄教科书或者辅导书上的内容，可以查找网络资料，但最好不要照抄

④孩子自主选择，确定一个模块主题，回答一个问题，写起来

⑤积累写作素材就靠两本笔记本：公式·定理笔记本+习题笔记本

⑥在孩子需要的时候，给予提示和支持

想让孩子养成记上面两本笔记本的习惯，在从笔记本中挑出现频率较高的内容作为写作主题。

那么，记笔记具体步骤，参考下图

四、主动创造心算的机会

1、老师上课时的演算，让孩子主动跟随，在老师讲解上一步时，主动心算下一步，尽量跟上老师的演算节奏

2、对孩子很有信心作对的题，让他主动挑战自己，无笔无纸心算结果，挑战准确率

3、鼓励孩子用走路，坐车，吃饭的时间，在脑子里存一道题，全程心中演算，直到结果得出，再换一道。

用这种刻意练习的方式，提高心算能力，也能提高孩子的计算能力，并且能够提升孩子的问题推演能力，一举多得。

上面四种方法，是笔者15年数学教学中实践、推广并且亲测有效的培养数学思维的方法。大脑思维很抽象，但就像肌肉一样，可以训练。愿每个孩子都能培养出受用一生的数学思维。