基本不等式与三角函数综合：2005年全国卷A题7 2008年辽宁

2022-06-11 本文已影响0人易水樵

基本不等式与三角函数综合

当 $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ 时, 函数 $f(x) = \dfrac{1+\cos2x+8\sin^2x}{\sin2x}$ 的最小值是（）

$A.4 \quad B.\dfrac{1}{2} \quad C.2 \quad D.\dfrac{1}{4}$

【解】

$f(x) = \dfrac{1+\cos2x+8\sin^2x}{\sin2x}$

$=\dfrac{2\cos^2x+8\sin^2x}{2\sin x \cos x}$

$=\dfrac{\cos x}{\sin x} + \dfrac{4\sin x}{\cos x}$

∵ $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ , ∴ $\dfrac{\cos x}{\sin x} \in (0,+\infty)$ ,

∵ $f(x) \geqslant 2 \sqrt{ (\dfrac{\cos x}{\sin x}) \cdot (\dfrac{4\sin x}{\cos x}) }$

∵ $f(x) \geqslant 4$

结论：选项 A 正确.

设 $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ ，则函数 $y=\dfrac{2\sin^2x+1}{\sin2x}$ 的最小值为 $\underline{\mspace{100mu}}$

【解】

$y=\dfrac{2\sin^2x+1}{\sin2x}$

$=\dfrac{3\sin^2x+\cos^2x}{2\sin x \cos x}$

$=\dfrac{3\sin x}{2\cos x} + \dfrac{\cos x}{2\sin x}$

$x \in (0,\dfrac{\pi}{2}), \Rightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x} \in (0,+\infty)$ ,

$y \geqslant 2\sqrt{\dfrac{3\sin x}{2\cos x} \cdot \dfrac{\cos x}{2\sin x}}$

$y \geqslant \sqrt{3}$

【提炼与提高】

将基本不等式与三角函数综合在一个题中考查，是高考数学命题的常用题型之一。

以上是两个客观题，难度适中，可以用作专题训练。

在大题中也有类似的用法，参见下面的实例.

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