一步一步认识胡克定律
2015-12-01 本文已影响1906人
taozhaojun
初中学了简单了胡克定律,高中的时候力变成了向量,而大学里应力应变都变成了2阶张量,同样是胡克定律,在不同的尺度下,却有不同的含义。
标量尺度
我们初中学过胡克定律,即在弹性范围内,弹簧的伸长和所施加的力成正比:

用公式表达就是:

正交对称Orthotropic
正交对称有两个对称面(可以证明:有两个对称面一定会有第三个),典型的正交对称材料是木头

木头的性质沿着半径方向,圆周方向以及轴向是不同的。
在直角坐标系下,如果坐标基矢量e1,e2,e3垂直于3个对称面,那么刚度张量元素个数可以从21个减小到9个:

横断对称Transversely isotropic
横断对称有一个对称轴,很多复合材料和生物薄膜材料都是横断对称的。
在直角坐标系下,如果坐标基矢量e3和对称轴重合,那么刚度张量元素个数可以进一步从9个减小到5个:

立方对称cubic symmetry
立方对称是最简单的各向异性情况,这时刚度矩阵元素个数为3个:

各向同性isotropic
终于到了各向同性,这一我们最常应用的情况,各向同性的材料,顾名思义,材料在各个方向上的性质是一样的,也可以说它有无穷多个对称面。各向同性的材料,刚度矩阵元素个数为2。
在直角坐标系下,公式表示为:

矩阵表示为:

其中,lamda等于:

u等于:

所以上式变为:

总结
仿佛坐了一次过山车,从初中学过的最简单形式的胡克定律开始(此时弹性系数k为一实数),到向量形式的胡克定律(此时k为一2阶张量,含9个元素),最后到连续介质力学中张量形式的胡克定律(此时k为一4阶张量,含81个元素),然后由于对称性,元素个数不断减少,在各向同性材料里,k只有两个元素。从中可以看出,升阶其实就是将更多方向性考虑进去,这样就需要更多的元素表示不同的方向,而对称性又决定了我们可以用同一元素代表不同方向的性质。我们从“1”出发,最后回到了“2”。
参考文献
wikipedia_Hooke's law
Linear elasticity
Orthotropic material