贝塞尔曲线

2018-11-01 本文已影响0人 professordeng

本节讲贝塞尔曲线的数学表达和软件实现。

1. 一阶

给定两个点 $P_0, P_1$ ，有

$B(t) = P_0 + (P_1-P_0)t = (1-t)P_0 + tP_1，t \in [0,1]$

等同于线性插值

给定三个点 $P_0, P_1, P_2$ ，有

$B(t) = (1+t)^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2， t\in [0,1]$

TrueType 字体就运用了二次贝塞尔曲线。

给定四个点 $P_0, P_1, P_2, P_3$ ，有

$B(t) = P_0(1-t)^3 + 3P_1t(1-t)^2 + 3P_2t^2(1-t) +P_3t^3，t\in[0,1]$

现代成像系统运用三阶贝塞尔曲线来描绘曲线轮廓。

也许你可能发现规律了，那就是

$B(t) = \sum_{i=0}^{n} (_i^n)(1-t)^{n-i}t^iP_i$

呈现二项式型分布的感觉，这样好记多了。