波利亚的四步解题法

第一步，彻底理解问题

问题既不能太难也不能太简单。你不要迎难而上，主动去找太难的问题，也不要随遇而安，专找自己会做的问题。为了确保真正理解问题，你最好把问题用自己的话换成各种形式反复重新表达。

无论怎么重新表达，别忘了要指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？

第二步，形成解决思路

这一步的关键是获得好思路。你过往解决问题的经验、已经掌握的知识，这些是思路的来源。你要问自己：有没有解决过与当前相关的问题？当时用的办法现在还能否适用？要不要做以及做哪些调整？

如果思路始终不肯降临，你就试试改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，逐一替换，直到找到与之相似而你又解决过的问题。

第三步，执行

获得思路需要掌握知识、良好习惯、专注、还有运气，执行它就相对简单，主要是耐心。要反复提醒自己：每一步都要检查。

检查有两种，一种是直觉，直觉是问你自己，这一步是不是一眼看去就是对的？一种是证明，证明是问你自己，能不能严格证明这步是对的？两个都有用，但是两回事。

第四步，总结

绝不能解决完问题就了事，那就浪费了巩固知识和提升技巧的机会。你再检查一遍论证过程，尝试用另外的方法解题，寻找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法能否用来解决其他问题？

总结是最好的启发时刻。

来源《怎样解题：数学思维的新方法》（ How to Solve It： A New Aspect of Mathematical Method ）。它出自大数学家波利亚（G. Polya）之手。在成名之前，波利亚曾经是中学数学老师，学生当中有冯·诺伊曼。

解决问题的问题清单

与四步解题法相对应的，有个完整的提问清单。即使你面对的不是数学题而是人生种种难题，四步解题法及问题清单也极有价值。 它适用于无数其他情境，帮助每个人寻找各自问题的解决之道，不论它是什么问题。

1. 在理解问题阶段的问题清单是：

求解什么未知数？已知什么？条件是什么？条件充不充分？但凡能画图，一定要画，把条件分解成各个部分，把问题用自己的话重新讲，反复讲。

2. 在构思解题思路阶段的问题清单是：

以前有没有见过相似或相关问题？以前用过的方法这次能否适用？不相似的地方是否需要引入辅助假设？条件有没有用足？能不能构造比现在更简单一点点的问题，先解决简单的？如果微调已知数、条件，甚至改变求解的未知数，能否找到解题线索？

3. 在执行解题思路阶段的问题清单是：

每一步都检查过了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？

波利亚认为，这些问题清单：

必须要系统、自然、明显、符合常识，防止打断形成思路的进程；

必须要反复问，把它内化成肌肉反应；

必须要有一般性，不仅适用于眼下的问题，还能适用于所有情境；

必须要从一般性问题逐渐引到具体问题，激活思路，再回到一般性问题上来，如此反复迭代。