∑sinkx 和 ∑coskx 的求和公式的证明

2019-10-17  本文已影响0人  壮志_凌云

求和公式有如下的结果：

\sum_{k=1}^n sinkx = \frac{sin \frac{nx}{2} sin \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}, x \neq 0

\sum_{k=1}^n coskx = \frac{sin \frac{nx}{2} cos \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}, x \neq 0

证明：

方法一：表达式同时乘以并除以 sin \frac{x}{2}，有：

 \frac{ sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^n sinkx }{sin \frac{x}{2}} = \frac{ \sum_{k=1}^n sinkx sin \frac{x}{2} }{ sin \frac{x}{2} }

 = \frac{ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n ( cos \frac{(2k -1)x}{2} - cos \frac{(2k +1)x}{2} ) }{ sin \frac{x}{2} }

 = \frac{(cos \frac{x}{2} - cos \frac{3x}{2} + cos \frac{3x}{2} - cos \frac{5x}{2} + \dots + cos \frac{(2n -1)x}{2} - cos \frac{(2n +1)x}{2} )}{ 2 sin \frac{x}{2} }

 = \frac{ cos \frac{x}{2} - cos \frac{(2n+1)x}{2} }{ 2 sin \frac{x}{2} } = \frac{sin \frac{nx}{2} sin \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}

\frac{ sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^n coskx }{sin \frac{x}{2}} = \frac{ \sum_{k=1}^n sinkx cos \frac{x}{2} }{ sin \frac{x}{2} }

= \frac{ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n ( sin \frac{(2k +1)x}{2} - sin \frac{(2k -1)x}{2} ) }{ sin \frac{x}{2} }

= \frac{(sin \frac{3x}{2} - sin \frac{x}{2} + sin \frac{5x}{2} - sin \frac{3x}{2} + \dots + sin \frac{(2n +1)x}{2} - sin \frac{(2n -1)x}{2} )}{ 2 sin \frac{x}{2} }

= \frac{sin \frac{(2n+1)x}{2} - sin \frac{x}{2}}{ 2 sin \frac{x}{2} } = \frac{sin \frac{nx}{2} cos \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}

方法二：根据欧拉公式，有：

 \sum_{k=1}^n coskx + i \sum_{k=1}^n sinkx = \sum_{i=1}^n (cosx + isinx)^k = \sum_{k=1}^n e^{ikx}

 = \frac{ e^{ix} ( e^{inx} - 1 ) }{e^{ix} - 1} = \frac{e^{ix} e^{\frac{inx}{2}} 2i sin \frac{nx}{2} }{e^{\frac{ix}{2}} 2i sin \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{nx}{2}}{sin \frac{x}{2}} e^{\frac{i(n+1)x}{2}}

 = \frac{sin \frac{nx}{2}}{sin \frac{x}{2}} (cos \frac{(n+1)x}{2} + i sin \frac{(n+1)x}{2})

方法三：根据棣莫弗定理，有：

 \sum_{k=1}^n coskx + i \sum_{k=1}^n sinkx = \sum_{i=1}^n (cosx + isinx)^k

 = \frac{ (cosx + i sinx) (1 - cosnx - isinnx) }{1 - cosx - isinx}

 = \frac{ cosx - cosx cosnx +sinx sinnx + i (sinx -sinx cosnx - cosx sinnx) }{1 - cosx - isinx}

 = \frac{ ( cosx - cos(n+1)x + i (sinx - sin(n+1)x) ) (1-cosx + isinx) }{ 4 (sin \frac{x}{2})^2 }

 = \frac{ cosx - cos(n+1)x - 1 + cosnx + i (sinx - sin(n+1)x + sinnx) }{ 4 (sin \frac{x}{2})^2 }

 = \frac{ sin \frac{(2n+1)x}{2} - sin \frac{x}{2} + i (cos \frac{x}{2} - cos \frac{(2n+1)x}{2}) }{2 sin \frac{x}{2}}

 = \frac{sin \frac{nx}{2} cos \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}} + i \frac{sin \frac{nx}{2} sin \frac{(n+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}

方法四：使用数学归纳法证明。

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