之前的算法之路，分析的问题大多比较具体简单 -- 可以直接套用一种方法解决。今天要讲的动态规划，其面对的问题通常是无法一蹴而就，需要把复杂的问题分解成简单具体的小问题，然后通过求解简单问题，去推出复杂问题的最终解。

Domino Effect

形象的理解就是为了推倒一系列纸牌中的第100张纸牌，那么我们就要先推倒第1张，再依靠多米诺骨牌效应，去推倒第100张。

实例讲解

斐波拉契数列是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 除了第一个和第二个数字为1以外，其他数字都为之前两个数字之和。现在要求第100个数字是多少。

这道题目乍一看是一个数学题，那么要求第100个数字，很简单，一个个数字算下去就是了。假设F(n)表示第n个斐波拉契数列的数字，那么我们易得公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，n >= 2，下面就是体力活。当然这道题转化成代码也不是很难，最粗暴的解法如下：

func Fib() -> Int {
  var (prev, curr) = (0, 1)

  for _ in 1 ..< 100 {
    (curr, prev) = (curr + prev, curr)
  }

  return curr
}

用动态规划怎么写呢？首先要明白动态规划有以下几个专有名词：

1. 初始状态，即此问题的最简单子问题的解。在斐波拉契数列里，最简单的问题是，一开始给定的第一个数和第二个数是几？自然我们可以得出是1
2. 状态转移方程，即第n个问题的解和之前的 n - m 个问题解的关系。在这道题目里，我们已经有了状态转移方程F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)

所以这题要求F(100)，那我们只要知道F(99)和F(98)就行了；想知道F(99)，我们只要知道F(98)和F(97)就行了；想要知道F(98)，我们需要知道F(97)和F(96)。。。，以此类推，我们最后只要知道F(2)和F(1)的值，就可以推出F(100)。而F(2)和F(1)正是我们所谓的初始状态，即 F(2) = 1，F(1) =1。所以代码如下：

func Fib(_ n: Int) -> Int {
  // 定义初始状态
  guard n > 0 else {
    return 0
  }
  if n == 1 || n == 2 {
    return 1
  }
  
  // 调用状态转移方程
  return Fib(n - 1) + Fib(n - 2)
}

print(Fib(100))

斐波拉契数列的动态规划

这种递归的写法看起来简洁明了，但是上面写法有一个问题：我们要求F(100)，那么要计算F(99)和F(98)；要计算F(99)，我们要计算F(98)和F(97)。。。大家已经发现到这一步，我们已经重复计算两次F(98)了。而之后的计算中还会有大量的重复，这使得这个解法的复杂度非常之高。解决方法就是，用一个数组，将计算过的值存起来，这样可以用空间上的牺牲来换取时间上的效率提高，代码如下：

var nums = Array(repeating: 0, count: 100)

func Fib(_ n: Int) -> Int {
  // 定义初始状态
  guard n > 0 else {
    return 0
  }
  if n == 1 || n == 2 {
    return 1
  }
  // 如果已经计算过，直接调用，无需重复计算
  if nums[n - 1] != 0 {
    return nums[n - 1]
  }
  
  // 将计算后的值存入数组
  nums[n - 1] = Fib(n - 1) + Fib(n - 2)
  
  return nums[n - 1]
}

动态转移虽然看上去十分高大上，但是它也存在两个致命缺点：

• 栈溢出：每一次递归，程序都会将当前的计算压入栈中。随着递归深度的加深，栈的高度也越来越高，直到超过计算机分配给当前进程的内存容量，程序就会崩溃。
• 数据溢出：因为动态规划是一种由简至繁的过程，其中积蓄的数据很有可能超过系统当前数据类型的最大值，导致崩溃。

而这两个bug，我们上面这道求解斐波拉契数列第100个数的题目就都遇到了。

• 首先，递归的次数很多，我们要从F(100) = F(99) + F(98) ，一直推理到F(3) = F(2) + F(1)，这样很容易造成栈溢出。
• 其次，F(100)应该是一个很大的数。实际上F(40)就已经突破一亿，F(100)一定会造成整型数据溢出。

当然，这两个bug也有相应的解决方法。对付栈溢出，我们可以把递归写成循环的形式（所有的递归都可改写成循环）；对付数据溢出，我们可以在程序每次计算中，加入数据溢出的检测，适时终止计算，抛出异常。

iOS实战演练

笔者以前在硅谷参加了一个hackthon大赛，当时是要做一个扫描英文单词出翻译的app。它大概长这样：

扫描单词出翻译

当时这个App其他部分运行非常流畅，就是在打开摄像头扫描单词的时候，会出现误读的情况。比如手写的“price”，机器会识别成“pr1ce”，从而无法对其进行正确的翻译。笔者对这种情况进行了相应的优化处理，方法如下：

1. 缩小误差范围：将所有的单词构造成前缀树。然后对于扫描的内容，搜索出相应可能的单词。具体做法可以参考《Swift 算法实战之路：深度和广度优先搜索》一文中搜索单词的方法。
2. 计算出最接近的单词：假如上一步，我们已经有了10个可能的单词，那么怎么确定最接近真实情况的单词呢？这里我们要定义两个单词的距离 -- 从第一个单词wordA，到第二个单词wordB，有三种操作：

• 删除一个字符
• 添加一个字符
• 替换一个字符

综合上述三种操作，用最少步骤将单词wordA变到单词wordB，我们就称这个值为两个单词之间的距离。比如 pr1ce -> price，只需要将 1 替换为 i 即可，所以两个单词之间的距离为1。pr1ce -> prize，要将 1 替换为 i ，再将 c 替换为 z ，所以两个单词之间的距离为2。相比于prize，price更为接近原来的单词。

现在问题转变为实现下面这个方法：

func wordDistance(_ wordA: String, wordB: String) -> Int { ... }

要解决这个复杂的问题，我们不如从一个简单的例子出发：求“abce”到“abdf”之间的距离。它们两之间的距离，无非是下面三种情况中的一种。

• 删除一个字符：假如已知 wordDistance("abc", "abdf") ，那么“abce”只需要删除一个字符到达“abc”，然后就可以得知“abce”到“abdf”之间的距离。
• 添加一个字符：假如已知 wordDistance("abce", "abd")，那么我们只要让“abd”添加一个字符到达“abdf”即可求出最终解。
• 替换一个字符：假如已知 wordDistance("abc", "abd")，那么就可以依此推出 wordDistance("abce", "abde") = wordDistance("abc", "abd")。故而只要将末尾的“e”替换成"f"，就可以得出wordDistance("abce", "abdf")

这样我们就可以发现，求解任意两个单词之间的距离，只要知道之前单词组合的距离即可。我们用dp[i][j]表示第一个字符串wordA[0…i] 和第2个字符串wordB[0…j] 的最短编辑距离，那么这个动态规划的两个重要参数分别是：

• 初始状态：dp[0][j] = j，dp[i][0] = i
• 状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1

再举例解释一下，"abc"到"xyz"，dp[2][1]就是"ab"到"x"的距离，不难看出是2；dp[1][2]就是"a"到"xy"的距离，是2；dp[1][1]也就是"a"到"x"的距离，很显然就是1。所以dp[2][2]即"ab"到"xy"的距离是min(dp[2][1], dp[1][2], dp[1][1]) + 1就是2.

有了初始状态和状态转移方程，那么动态规划的代码就出来了：

func wordDistance(_ wordA: String, _ wordB: String) -> Int {
  let aChars = [Character](wordA.characters)
  let bChars = [Character](wordB.characters)
  let aLen = aChars.count
  let bLen = bChars.count
        
  var dp = Array(repeating: (Array(repeating: 0, count: bLen + 1)), count: aLen + 1)
        
  for i in 0 ... aLen {
    for j in 0 ... bLen {
      // 初始情况
      if i == 0 {
        dp[i][j] = j
      } else if j == 0 {
        dp[i][j] = i
      // 特殊情况
      } else if aChars[i - 1] == bChars[j - 1] {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
      } else {
        // 状态转移方程
        dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1
      }
    }
  }
        
  return dp[aLen][bLen]
}

用动态规划计算出单词之间的距离之后，在做一些相应的优化，就可以准确的识别出扫描的单词。

全系列总结

动态规划算是算法进阶中比较重要的一环，它的思想就是把复杂问题化为简单具体问题，然后分析出初始状态和状态转移方程，从而推出最终解。也许它在实际编程或是iOS开发中出现频率不高，但是这种删繁就简的思路，却可以应用在生活或者工作中的方方面面。

Swift算法实战系列前前后后一共9篇：

• 第1篇是分析Swift的基本语法。谈的是如何快速有效书写Swift的技巧；
• 第2 - 5篇主要是讲各种数据结构。分别讲了数组、字符串、字典、链表、栈、队列、二叉树；
• 第6 - 9篇分析的是各种基本算法。搜索、排序、深度和广度优先搜索、递归和动态规划都有涉及。

整个系列的目的就是用Swift说清楚最基本的算法和数据结构知识，所以语言尽可能通俗易懂。动态规划再往上讲，就比较阳春白雪了，故而至此收笔。感谢大家的阅读和指教。