分析力学基本原理介绍6：守恒定理和对称性

2019-12-14 本文已影响0人有限与微小的面包

拉格朗日方程可以帮助我们获得一个系统的运动方程。对于一个自由度为 $n$ 的系统，运动方程的总数同样为 $n$ ，即有 $n$ 个对时间的二阶微分方程。求解这些微分方程属于数学的范畴。对每一个方程，我们都需进行两次积分运算，所以常系数将无可避免地有 $2n$ 个。在特殊情况下，这些微分方程是可积的， $2n$ 个常数则需通过代入初值求解。但对于更一般性的情况，它的微分方程通常是不可积的，换言之，他们的结果通常不能用初类函数来表示。那么如何最大程度地从这些微分方程中提取有关系统运动的有用信息就显得十分关键。这就是接下来的守恒定理将要探讨的问题。

通常地，系统的这些运动方程是可以很轻松地进行一次积分运算的，得到的结果是一个关于坐标和速度的表达式，它们被称为运动方程的第一积分(the first integral of the equations of motion)或者雅各比积分(Jacobi's integral)。在一些宽松情况下，它们可被粗略地称为系统的“运动积分”：

$f(q_1, q_2,...,\dot{q_1},\dot{q_2},...,t) = \text{const.}$

这样的运动积分也包括我们熟知的一些守恒定律。

对于一个势函数只显含坐标的单演系统，

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x_i}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{x_i}} - \frac{\partial V}{\partial \dot{x_i}} = \frac{\partial }{\partial \dot{x_i}}\sum_i\frac{1}{2}m_i(\dot{x_i}^2 + \dot{y_i}^2 + \dot{z_i}^2) = m_i\dot{x_i} = p_{ix}$

我们发现，拉格朗日函数对 $\dot{x_i}$ 的偏导等于系统第 $i$ 个微粒的线动量沿 $x$ 方向的分量。

实际上，从更广义的角度，拉格朗日函数对广义速度 $\dot{q_j}$ 的偏导可表示为：

$\boxed{\frac{\partial \mathscr{L}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial \dot{q_j}} = p_j}$

它是系统广义动量沿 $q_j$ 方向的分量，通常被称为正则动量(canonical momentum)或者广义坐标 $q_j$ 的共轭动量(conjugate momentum)。

注意，由于广义坐标在一般情况下可以不表示位置，正则动量的量纲在一般情况下会和线动量的量纲不同（不等于质量乘以速度）。

如果拉格朗日函数表达式中不含有某个坐标 $q_j$ （可能含有速度 $\dot{q_j}$ ），我们将它称为循环坐标(cyclic coordinate)。

利用拉格朗日方程

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j} = 0$

于是

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}} = 0$

或

$\frac{dp_j}{dt} = 0$

所以

$p_j = \text{const.}$

可见，共轭动量 $p_j$ 是一个不随时间变化的常数，故为守恒量。

因此，广义的守恒定理可以用文字阐述为：循环坐标的广义共轭动量是守恒量。

七个运动积分中（守恒量中），有六个都可以从这条定理获得；它们分别是线动量的三个分量以及角动量的三个分量。

我们首先考虑线动量。

现有一广义坐标 $q_j$ ，设系统沿该轴方向平行移动了 $dq_j$ 。如果选系统质心为参考系原点，系统的动能表达式将不含坐标 $q_j$ ，再将范围缩小为势函数只显含坐标的单演系统，拉格朗日方程则变为：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}} +\frac{\partial V}{\partial q_j} = 0$

或者

$\dot{p_j} = -\frac{\partial V(\mathbf{r}(q))}{\partial q_j} = -\sum_i (\boldsymbol{\nabla}_iV) \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = \sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}$

（注：从第一个等号到第二个等号使用了链式法则）

它同样也是广义力

$\sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{r}_i} {\partial q_j} \equiv Q_j$

现在只看偏导的部分，

$\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = \lim_{dq_j \rightarrow 0}\frac{\mathbf{r}_i(q_j + dq_j) - \mathbf{r}_i(q_j)}{dq_j} = \mathbf{\hat{n}}$

$\mathbf{n}$ 是沿位矢变化方向的单位矢量。

于是

$Q_j = \sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{F}_{\text{tot}}$

我们发现，广义力其实就等于系统所受合力沿位矢变化方向的分量。

而动能具有形式：

$T = \frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{\mathbf{r}_i}^2$

所以

$p_j = \frac{\partial T} {\partial \dot{q_j}} = \frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\left(\frac{1}{2}\sum_im_i\dot{\mathbf{r}_i}^2\right) = \sum_im_i\dot{\mathbf{r}_i}\boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \dot{\mathbf{r}_i}}{\partial \dot{q_j}}$

根据关系

$\frac{\partial \dot{\mathbf{r}_i}} {\partial \dot{q_j}} = \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}$

最终可以得到

$p_j = \sum_im_i\dot{\mathbf{r}_i}\boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} =\mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i m_i\mathbf{v_i} = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}_{\text{tot}}$

即

$Q_j = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}\right)$

等式关系成立。

当坐标 $q_j$ 为循环坐标时，势函数不显含坐标 $q_j$ ，

$Q_j = -\frac{\partial V} {\partial q_j} = 0$

可以得到

$\boxed{\mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i m_i\mathbf{v_i} = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}_{\text{tot}} = \text{const.}}$

即，当受到的合力在系统平行移动的方向上的分量为零时，系统沿该方向的线动量分量是一个不随时间变化的常数。这个就是常说的“动量守恒定律”。

$\bullet$ 需要满足的条件：

（1） $q_j$ 是循环坐标。

（2）系统为势函数只能显含坐标的单演系统。

二者缺一不可。

接下来是角动量。

假设系统存在一个描述微粒绕转轴运动情况的广义坐标 $q_j$ ，并且转动微小弧度后导致的微小改变量为 $dq_j$ 。

若上述条件同样被满足，与循环坐标 $q_j$ 共轭的正则动量将是系统角动量沿 $q_j$ 方向的分量。

拉格朗日方程一侧为：

$\sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \equiv Q_j$

设角度 $\theta$ 为微粒的位矢与转轴形成的夹角，通过几何关系不难得出

$|d\mathbf{r}_i| = r_i\sin\theta\;dq_j$

$\left| \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\right| = r_i\sin\theta$

矢量可以表示为下列叉乘积

$\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\times} \mathbf{r}_i$

所以

$Q_j = \sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\times} \mathbf{r}_i$

利用三重积公式置换一下顺序

$Q_j = \sum_i \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i \boldsymbol{\times} \mathbf{F}_i = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i \mathbf{r}_i \boldsymbol{\times} \mathbf{F}_i = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i \mathbf{N}_i = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{N}$

我们发现，广义力等于力矩沿转轴方向的分量。

当力矩与转轴重合时，

$Q_j = (\mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}})N = N$

广义力即为系统总力矩。

与讨论线动量时相同，拉格朗日方程的另一侧是

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}} = \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}} = \frac{d}{dt}\sum_i\left(m_i\mathbf{v}_i \boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{v}_i}{\partial \dot{q_j}} \right)$

可以进一步得到

$\frac{d}{dt}\sum_i\left(m_i\mathbf{v}_i \boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{v}_i}{\partial \dot{q_j}} \right) = \frac{d}{dt}\sum_i\left(m_i\mathbf{v}_i \boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \right) = \frac{d}{dt}\sum_i\left( m_i\mathbf{v}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\times} \mathbf{r}_i\right)$

置换三重积顺序

$\mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \frac{d}{dt}\sum_i \left(\mathbf{r}_i \boldsymbol{\times} m_i\mathbf{v}_i\right) = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i \mathbf{\dot{L}}_i = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{L}}_{\text{tot}}$

关系

$Q_j = \dot{p}_j$

依然成立。

因为条件（1）， $q_j$ 是循环坐标， $Q_j = 0$ ，所以可以得到

$\boxed{\mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i \left(\mathbf{r}_i \boldsymbol{\times} m_i\mathbf{v}_i\right) = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \sum_i \mathbf{L}_i = \mathbf{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{L}_{\text{tot}} = \text{const.}}$

即，当力矩在沿转轴方向的分量为零时，系统沿该方向的角动量分量是一个不随时间变化的常数。这是所谓的“角动量守恒定律”。

对于线动量守恒和角动量守恒，我们可以初步得出两个关于系统特征的结论：

（1）当系统在沿某个方向的平移变换下为不变量时，该方向的线动量守恒。

（2）当系统在绕某个转轴的旋转变换下为不变量时，沿转轴的角动量守恒。

可见，动量守恒定理其实是与系统的空间对称性有紧密联系的。

在连续介质力学和连续系统中，关于守恒量与对称性之间还存在一个更具一般性的定理，它就是著名的诺特定理(Noether's theorem)。由德国女数学家艾米·诺特于1915年发现——一位很了不起的女性。

而在朗道所著的教材《力学》中，更是直接从对称性出发，利用拉格朗日函数的不变性推导了七大守恒运动积分，是对这个定理很好的诠释。

对于守恒量和对称性的关系，可以通过看一些简单的例子来进一步理解：

$\bullet$ 一个位于场源均匀分布的二维无限势场内（ $z = 0$ ）的一个由质点组构成的系统，质点系沿 $x$ 轴和沿 $y$ 轴方向的线动量分量 $\mathbf{P}_x$ 和 $\mathbf{P}_y$ 是守恒的；同时，质点系沿 $z$ 轴的角动量分量 $\mathbf{L}_z$ 也是守恒的。但如果是半平面（ $x \gt 0$ ），质点系沿 $x$ 轴和沿 $z$ 轴方向的动量守恒性将会被打破，即此时只有沿 $y$ 轴方向的线动量分量 $\mathbf{P}_y$ 仍然守恒。

$\bullet$ 对于有心力势场，如平方反比力势场，系统沿各个方向的角动量分量均守恒（经过球心的对称轴有无数条），系统的线动量则不守恒（方向或大小时刻都在改变）。

$\bullet$ 对于主轴沿 $z$ 轴的均匀圆锥势场，系统沿 $z$ 轴的角动量分量守恒，线动量不守恒；对于主轴沿 $z$ 轴（棱边平行于 $z$ 轴）的均匀棱柱势场，系统沿 $z$ 轴的线动量分量守恒，角动量不守恒。

$\bullet$ （《力学》原题）螺距为 $h$ 的无限长均匀圆柱形螺旋线势场，拉格朗日函数为

$\mathscr{L}(z,\phi,\dot{z},\dot{\phi}) = \frac{1}{2}m(\dot{z}^2 + r\dot{\phi}^2) - V(z,\phi,\dot{z},\dot{\phi})$

我们发现，无论是沿 $z$ 轴方向还是垂直 $z$ 轴的方向，系统的动量均不守恒。但不代表该系统不存在守恒量。正则动量 $\frac{\partial \mathscr{L}} {\partial \dot{z}}$ 和 $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}}$ 无论哪个单独拿出来都不是守恒量，原因是坐标 $z$ 并非线性独立，这个系统存在约束。

螺距为 $h$ ，代表了质点沿螺线转动 $2\pi$ 弧度上升的高度为 $h$ ，那么转动 $d\phi$ 弧度上升的高度则为： $dz = \frac{h}{2\pi}d\phi$

拉格朗日函数沿转轴 $z$ 均有不变性，利用约束方程，可将坐标 $z$ 消去：

$\delta \mathscr{L} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial z}dz + \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}d\phi = \left(\dot{p}_z\frac{h}{2\pi}+\dot{L}_z\right)d\phi = 0$

因为 $d\phi$ 为任意的，所以守恒量为

$\frac{h}{2\pi}p_z + L_z = \text{const.}$

总结守恒定理时提到，在满足守恒条件下，系统中通常存在七个守恒量（笛卡尔坐标系）。我们已经讨论了六个，最后一个应该可以猜到了。

考虑一个显含坐标、速度、时间的拉格朗日函数 $\mathscr{L}(q,\dot{q},t)$ ，先求对时间的全导：

$\frac{d\mathscr{L}}{dt} = \sum_j \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt} + \sum_j\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\dot{q}_j}\frac{d\dot{q}_j}{dt} + \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}$

根据拉格朗日方程我们知道

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j}$

替换拉格朗日方程中相应的项，可以得到

$\frac{d\mathscr{L}}{dt} = \sum_j \left(\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_j} \right)\frac{dq_j}{dt} + \sum_j\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\dot{q}_j}\frac{d\dot{q}_j}{dt} + \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}$

等式右边两项可以合并

$\frac{d\mathscr{L}}{dt} = \sum_j \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_j}\dot{q}_j\right) + \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}$

或者

$\frac{d}{dt}\left(\sum_j\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_j}\dot{q}_j - \mathscr{L}\right) + \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t} = 0$

括号里的量被称为能量函数(energy function)，用函数 $h$ 表示。函数 $h$ 是一个含有 $n$ 个独立变量 $q_j$ ， $\dot{q}_j$ ，甚至时间 $t$ 的函数：

$h(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t) = \sum_j\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_j}\dot{q}_j - \mathscr{L}$

其实能量函数与哈密顿函数 $H$ 具有相同的值，不过后者是一个含有 $2n$ 个独立变量 $q_j$ ， $p_j$ （正则动量），甚至时间 $t$ 的函数。

现在回到能量函数。

拉格朗日方程可用含有 $h$ 的式子表示：

$\frac{dh}{dt} = -\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}$

当拉格朗日函数不显含时间 $t$ （势函数不显含时间）时，

$\frac{dh}{dt} = 0$

$h = \text{const.}$

能量函数守恒。

现在我们来看看这个所谓的能量函数的具体形式。

考虑一个势函数只显含坐标的单演系统。

首先我们知道，系统的动能

$T = \sum_i\frac{1}{2}m_i v_i^2 = \sum_i\frac{1}{2}m_i\left(\sum_j \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}\right)^2$

通常能够被泰勒近似为（并不总是，但至少覆盖了绝大多数的问题）

$T = M_0 + \sum_jM_j\dot{q}_j + \frac{1}{2}\sum_{j,k}M_{jk}\dot{q}_j\dot{q}_k$

其中，

$M_0 = \sum_i\frac{1}{2}m_i\left(\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}\right)^2$

$M_j = \sum_im_i\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial t}\boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}$

$M_{jk} = \sum_im_i\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}$

或者写成

$T = T_0(q) + T_1(q,\dot{q}) + T_2(q,\dot{q})$

其中， $T_0(q)$ 是一个只显含坐标的函数，即“常数项”； $T_1(q,\dot{q})$ 是一个显含坐标与速度的函数，并且速度的次幂都为一，即“线性项”； $T_2(q,\dot{q})$ 也是一个显含坐标与速度的函数，但速度的次幂都为二，即“二次项”。

因此，拉格朗日函数也可用类似的形式展开：

$\mathscr{L}(q,\dot{q},t) = \mathscr{L}_0(q,t) + \mathscr{L}_1(q,\dot{q},t) + \mathscr{L}_2(q,\dot{q},t)$

其中， $\mathscr{L}_0(q,t)$ 是关于速度的零阶齐次式； $\mathscr{L}_1(q,\dot{q},t)$ 是关于速度的一阶齐次式； $\mathscr{L}_2(q,\dot{q},t)$ 是关于速度的二阶齐次式。

欧拉齐次函数定理告诉我们，对于一个齐次函数 $f$ ，

$f(\lambda x_1,...,\lambda x_m) = \lambda^nf(x_1,...,x_m)$

其中 $\lambda$ 为任意数， $n$ 为齐次函数的阶数。

我们有

$\sum_i x_i\frac{\partial f}{\partial x_i} = nf$

又因为

$h(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t) = \sum_j\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_j}\dot{q}_j - \mathscr{L}$

其中 $\mathscr{L}(q,\dot{q},t) = \mathscr{L}_0(q,t) + \mathscr{L}_1(q,\dot{q},t) + \mathscr{L}_2(q,\dot{q},t)$

所以

$h = 2\mathscr{L}_2 + \mathscr{L}_1 - \mathscr{L} = \mathscr{L}_2 - \mathscr{L}_0$

$\mathscr{L}_2$ 是拉格朗日函数关于速度的二阶展开项， $\mathscr{L}_2 = T_2$ 。这时如果位矢不显含时间， $\mathscr{L}_2 = T_2 = T$ 。如果势函数不显含速度 $\mathscr{L}_0 = -V$ ，所以

$h = T + V = E$

可见，在特殊情况下，能量函数等于机械能，

$\boxed{h = T + V = E = \text{const.}}$

即，当系统的拉格朗日函数不显含时间时，系统的机械能是一个不随时间变化的常数。这就是所谓的“能量守恒定律”。

探讨完了保守单演系统的守恒定理，最后总结一点非守恒系统的情况。

当系统为非保守系统时，

$\frac{dh}{dt} + \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t} = \sum_j\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q}_j}\dot{q}_j$

在介绍3.中提到，耗散函数 $\mathcal{F}$ 本身也是一个关于速度的二阶齐次函数。可对等式右侧再次使用欧拉齐次函数定理

$\frac{dh}{dt} + \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t} = 2\mathcal{F}$

$\frac{dh}{dt} = -2\mathcal{F} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}$

若拉格朗日函数不显含时间，我们发现，

$\frac{dh}{dt} = -2\mathcal{F}$

能量的耗散率将再次等于 $2\mathcal{F}$ 。不过这次的证明更具一般性。

分析力学基本原理介绍6：守恒定理和对称性

猜你喜欢

热点阅读