高等数学(六)定积分应用

2021-08-17 本文已影响0人 AdRainty

几何应用

1、平面图形的面积

1）若平面域D由曲线y=f(x),y=g(x)，f(x)≥g(x),x=a,x=b,a<b所围成的，则
$S = \int _ { a } ^ { b } [ f ( x ) - g ( x ) ] d x$
2）若平面域D由曲线ρ=ρ(θ)，θ=α，θ=β，α<β所围称，则
$S = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \alpha } ^ { \beta } p ^ { 2 } ( \theta ) d \theta$

进阶：算平面域的面积可以利用二重积分进行计算
$S = \int \int _ { D } 1 d S$

2、旋转体的体积

若平面域D由曲线y=f(x)，f(x)≥0，x=a，x=b，a<b所围成，则
1）区域D绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积为
$V _ { x } = \pi \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) d x$
2）区域D绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积为
$V _ { y } = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) d x$

进阶：区域D绕ax+by+c=0的直线绕一周所得到的旋转体体积为
$V = 2 \pi \int _ { D } r ( x , y ) d Q$
其中 $r ( x , y ) = \frac { | a x + b y - c | } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }$

3、曲线弧长

1）C：y=y(x), a≤x≤b， $S = \int _ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + y ' ^ { 2 } } d x$
2）C：x=x(t),y=y(t), α≤t≤β， $S = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { x ' ^ { 2 } + y ' ^ { 2 } } d t$
3）C：ρ=ρ(θ)， α≤θ≤β， $S = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { p ^ { \prime 2 } + p ^ { 2 } } d \theta$

4、旋转体侧面积

$S = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \sqrt { 1 + f ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } d x$

5、平面上的曲边梯形的形心坐标公式

$\overline{x}=\frac{\iint_D{xd\sigma}}{\iint_D{d\sigma}}=\frac{\int_a^b{xf\left( x \right) dx}}{\int_a^b{f\left( x \right) dx}}$
$\overline{y}=\frac{\iint_D{yd\sigma}}{\iint_D{d\sigma}}=\frac{\frac{1}{2}\int_a^b{f^2\left( x \right) dx}}{\int_a^b{f\left( x \right) dx}}$