三角之目：2015年理数陕西卷题17

2022-05-26 本文已影响0人易水樵

$\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ . 向量 $\boldsymbol{m} =(a,\sqrt{3}b)$ 与 $\boldsymbol{n} =(\cos A, \sin B)$ 平行.

（Ⅰ）求 $A$ ;

（Ⅱ）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ ，求 $\triangle ABC$ 的面积.

【解答问题Ⅰ】

$\overrightarrow{m} // \overrightarrow{n} \;\Leftrightarrow\; a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$

根据正弦定理可得： $\sin A \sin B = \sqrt{3} \sin B \cos A$

∵ $\sin B \gt 0$ ,

∴ $\sin A = \sqrt{3}\cos A$

$\tan A = \sqrt{3}$

$A = 60°$

【解答问题Ⅱ】

根据余弦定理有： $a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos A$

代入已知条件得： $7=c^2-2c+4$

$(c-3)(c+1)=0$

∵ $c \gt 0$ , ∴ $c=3$ .

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc \cdot \sin A= \dfrac{3}{2}\sqrt{3}$ .

【提炼与提高】

高考命题的趋势之一就是提高综合性，在一个大题中考查几个分支的知识.

本题就很好地体现了这种命题趋势. 本题所涉及的考点如下：

1）向量平行的概念及条件；

2）应用正弦定理，化边为角；

3）应用余弦定理，列方程，求边长；

4）三角形的面积公式；

拆开来看，以上几点都不算难。但是否能够在一个大题中综合应用，并在较短时间内得出正确结果，就是一种能力的体现.