关于『嵌入』

2018-08-14 本文已影响0人水之心

机器学习的「现代分析」基础

【定义 1】设 $(X, d_1)$ 和 $(Y, d_2)$ 是距离空间, 若存在双射 $T: X \rightarrow Y$ , 使得
$d_2(Tx_1,Tx_2) = d_1(x_1,x_2), \;\;\; \forall x_1,x_2 \in X$
则称 $(X, d_1)$ 与 $(Y, d_2)$ (通过 $T$ ) 等距同构, $T$ 称为等距同构映射. 若 $(X, d_1)$ 与 $(Y, d_2)$ 的某个子空间 $(Y_0,d_2)$ 等距同构, 则称 $(X,d_1)$ 可嵌入 $(Y,d_2)$ . 在等距同构的意义下, 可将 $(X,d_1)$ 看作 $(Y,d_2)$ 的子空间, 并简记为
$(X, d_1) \subset (Y, d_2)$
注意 : 从集合角度来看, $X$ 不一定是 $Y$ 的子集.
【定义 2】设 $X$ 与 $Y$ 是赋范线性空间, 若算子 $T: X \rightarrow Y$ 满足 $||Tx|| = ||x||, \forall x \in X$ , 则称 $T$ 是 保范算子. 若线性算子 $T: X \rightarrow Y$ 是双射, 则称 $T$ 是 等距同构映射, 简称 同构映射. 这时称 $X$ 与 $Y$ 等距同构, 简称同构, 记作 $X=Y$ .
若存在 $A \subset Y$ , 使得 $A$ 与 $X$ 同构, 则称 $X$ 可嵌入到 $Y$ 中.

若一个抽象的赋范线性空间 $X$ 与一个具体的赋范线性空间 $Y$ 同构, 则称 $Y$ 是 $X$ 的一个表示.
注意 : 若将【定义 2】中的线性改为共轭线性, 即
$T(\alpha x + \beta y) = \overline{\alpha} Tx + \overline{\beta} Ty, \forall \alpha, \beta \in K$
则称 $X$ 与 $Y$ 共轭同构, 仍记作 $X=Y$ .
【定义 3】设 $X$ 与 $Y$ 是数域 $K$ 上的赋范线性空间, $D$ 是 $X$ 的线性子空间. 若映射 $T: D \rightarrow Y$ 满足
- 可加性: $T(x+y)=Tx+Ty,\;\;\; x,y \in D$
- 齐性: $T(\alpha x) = \alpha Tx,\;\;\; x \in D, \alpha \in K$
  则称 $T$ 是 $D$ 到 $Y$ 的线性算子; 称 $D(T) = D$ 为 $T$ 的定义域; 称 $R(T) = \{Tx|x\in D \}$ 为 $T$ 的值域; 并称
  $N(T)(=ker(T)) = \{x \in D | Tx=0\} = T^{-1}(0)$
  为 $T$ 的零空间 (或核).
【有界线性算子范数】设 $X$ 与 $Y$ 是赋范线性空间, 若 $T:X \rightarrow Y$ 为 有界线性算子, 则称
$||T|| = sup\{||Tx||/||x||: x \in X, x \neq 0 \}$
为 有界线性算子范数.
【有界线性算子空间】设 $X$ 与 $Y$ 是数域 $K$ 上的赋范线性空间, $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子全体记作 $B(X,Y)$ . $\forall T_1,T_2 \in B(X, Y), \alpha \in K$ . 规定线性运算为:
$\begin{aligned} &(T_1 + T_2) (x) = T_1x + T_2x, & \forall x \in X\\ &(\alpha T)(x) = \alpha Tx, & \forall x \in X \end{aligned}$
易知, $(B(X,Y),||\cdot ||)$ 是赋范线性空间, 称为 有界线性算子空间.
特别, 当 $Y=K$ 时, 简记作 $B(X, K) = X^{*}$ , 并称其元素为 有界线性泛函, 且 $X^{*}$ 称为 $X$ 的 共轭空间.
【定义 4】设 $X$ 是数域 $K$ 上的赋范线性空间, 若 $X^{*} = X$ , 则称 $X$ 为 自共轭空间.
【定理 1】任何赋范线性空间 $(X, ||\cdot||)$ 都与 $X^{**}$ 的子空间保范线性同构, 在同构的意义下, 可记作 $X \subset X^{**}$ , 即
$\forall x \in X$ , 定义泛函 $F_x: X^{*} \rightarrow K$ , $f \mapsto f(x)$ , 即
$F_x(f) = f(x) \;\;\text{ $x$ 固定, $\forall f \in X^{*}$ }$
则 $F_x \in (X^{*}) = X^{**}$ ，且 $||F_x|| = ||x||$ .
【定理 2】 $n$ 维实赋范线性空间 $E_n$ , 有 $(E_n)^{*} = E_n$ .
设 $e_1,\cdots, e_n$ 是 $E_n$ 的一组基, 则 $\forall f \in (E_n)^{*}$ , 存在唯一的 $\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in E_n$ , 使得 $f$ 在 $E_n$ 上的表示为
$f(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\alpha_k,\;\; \forall x \in E_n, x = \sum_{k=1}^n x_ke_k$
实际上, $\alpha_k = f(e_k)$ 是由 $f$ 唯一确定的. 同时, $(E_n)^{*}$ 中的泛函 $f$ 的范数 $||f|| = ||\alpha||$ 则依赖于 $E_n$ 中元素 $x$ 的范数 $||x||$ 的选取.

重要技巧

将原空间 $X$ 的问题通过嵌入映射 $\mathcal{T}$ 转换为 $X^{**}$ 中的问题, 即将 $x\in X$ 转换为 $F_x \in X^{**}$ , 且 $||F_x|| = ||x||$ . 而线性泛函 $F_x$ 要比抽象空间 $X$ 中的元素 $x$ 更容易处理.

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