算法系列-动态规划(1)：初识动态规划
昨天，罗拉去面试回来，垂头丧气。显然是面试不顺利，我赶忙过去安慰。
经过询问才知道，罗拉面试挂在了动态规划。
说到动态规划，八哥可就来精神了，于是就结合劳拉的面试题简单的和她介绍了动态规划。
事情是这样的，劳拉的面试官给了她一道题，题目如下：
有一个数列，规律如下：1、1、2、3、5、8、13....
如果要求第N个数值，用代码如何实现。
罗拉一看这题，心里一喜，“这题目，不简单吗？”。
于是和面试官卖弄道：“这不是斐波那契数列吗？这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和”。
面试官笑笑，“没错，那么如何实现求第n个数呢？”
“这简单，稍后”，罗拉毫不含糊，在纸上啪啪写下几行代码,很快哈，两分钟不到，她就写出来了，只用了两行代码。
public class Fibonacci {
public int rec_fib(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
else return rec_fib(rec_fib(n - 1) + rec_fib(n - 2));
}
}
八哥仔细一看，好家伙，年轻人不讲码德啊，直接递归。
在罗拉仔细准备迎接面试官得夸奖的时候。
面试官问：“递归，不错，还有更好的方法吗？”
罗拉懵了，她觉得自己的代码够简单，应该没啥问题吧。
仔细想了一会儿，也没想出其他的办法。最后只能和面试官互道珍重回家等通知了。
那么，大家发现这个写法的问题了吗？
下面八哥就和大家唠嗑唠嗑。
首先，写法肯定是没问题的，但是问题出在递归上面。
下面，我们分别计算一下n=10 和 n=45 的时候，看看这个程序耗费的时间
public class Fibonacci {
public static void main(String[] args) {
long star = System.currentTimeMillis();
System.out.println(rec_fib(10));
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算n=10 耗时："+(end - star)/1000 + "s");
star = System.currentTimeMillis();
System.out.println(rec_fib(45));
end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算n=45 耗时："+(end - star)/1000 + "s");
}
public static long rec_fib(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
else return rec_fib(n - 1) + rec_fib(n - 2);
}
}
输出结果如下：
55
计算n=10 耗时：0s
1134903170
计算n=45 耗时：3s
发现没？计算fn(45)的居然花了三秒多，如果我们计算100，1000那岂不是原地螺旋爆炸？
那为啥会计算fn(45)会花这么多时间呢？接下来我们就分析分析。
首先我们根据这个数列的特点，很容易写出下面的推导公式。
然后，我们可以画一下递归图
递归图1.png
发现问题没有？是不是发现有些数据被多次计算？比如f(48)被算了两次，f(47)会被算3次，越往下算的越多。
递归图2.png
仔细想想，按照这样重复计算，n = 50那得重复多少次啊。
我们再来分析一下罗拉写的这个算法的时间复杂度。
按照我们这么拆分下去，很容易发现，这玩意就基本等于一颗完全二叉树了。自然时间复杂度就是：
指数级别的时间复杂度，不爆炸都对不起递归了好吧。
出了问题，我们就要解决问题。
打蛇打七寸，既然知道痛点是重复计算，那我们从重复计算的地方着手就好了。
我们很容易想到把计算过的值存起来，用的时候直接用就好了。
比如我们可以用数据记录计算过的值。
罗拉听完，若有所思，随后啪啪一份代码就出来了。
public class Fibonacci {
public static long men_fib(int n) {
if (n < 0) return 0;
if (n <= 2) return 1;
long[] men = new long[n + 1];
men[1] = 1;
men[2] = 1;
menHelper(men, n);
return men[n];
}
public static long menHelper(long[] men, int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
if (men[n] != 0) return men[n];
men[n] = menHelper(men, n - 1) + menHelper(men, n - 2);
return men[n];
}
}
使用一个men[n]数组记录计算过的值，这样避免了重复计算。
这个时候罗拉又重新执行f(10)和fn(45),查看执行时间.
public class Fibonacci {
public static void main(String[] args) {
long star = System.currentTimeMillis();
System.out.println(men_fib(10));
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算n=10 耗时：" + (end - star) / 1000 + "s");
star = System.currentTimeMillis();
System.out.println(men_fib(45));
end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算n=45 耗时：" + (end - star) / 1000 + "s");
}
public static long men_fib(int n) {
if (n < 0) return 0;
if (n <= 2) return 1;
long[] men = new long[n + 1];
men[1] = 1;
men[2] = 1;
menHelper(men, n);
return men[n];
}
public static long menHelper(long[] men, int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
if (men[n] != 0) return men[n];
men[n] = menHelper(men, n - 1) + menHelper(men, n - 2);
return men[n];
}
}
执行结果
55
计算n=10 耗时：0s
1134903170
计算n=45 耗时：0s
看，基本都是瞬间执行完。
即使计算f(100)，也很快。
3736710778780434371
计算n=100 耗时：0s
效率提升可观吧，如果罗拉当时这么做了，至少还能再蹭一杯茶。然后再相忘江湖吧。
我们使用一个数据记录计算过的值，相当于整了一个备忘录，这是递归常见的优化方式。这个其实已经有了一点动态规划的味道。
不过呢，这个带备忘录的递归属于自顶向下的方法。那怎么理解自顶向下呢？废话不多说，上图
自顶向下.png
看这个图，我们执行的时候是按照这个顺序f(50),f(49)...f(1),f(1)执行的吧，从上往下计算，可以粗略的认为这就是自顶向下。
我们还可以采用自底向上的方式，也就是按照下面的形式
自底向上.png
我们还是用一个数组dp记录计算过值，因为我们已经知道了，第1个和第2个数。所以我们可以通过第1个和第2个数。从1开始，递推出50,这个就是自底向上。
按照这个思路，罗拉很快，一分钟不到哈，就写出了代码，年轻人就是雷厉风行。
public static long fib(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++)
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
return dp[n];
}
同样执行了执行f(10)和fn(45)
public class Fibonacci {
public static void main(String[] args) {
long star = System.currentTimeMillis();
System.out.println(fib(10));
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算n=10 耗时：" + (end - star) / 1000 + "s");
star = System.currentTimeMillis();
System.out.println(fib(45));
end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算n=45 耗时：" + (end - star) / 1000 + "s");
}
public static long fib(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++)
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
return dp[n];
}
}
查看执行时间。
55
计算n=10 耗时：0s
1134903170
计算n=45 耗时：0s
答案显而易见，效果与备忘录一样，这个时候我们再分析一下时间复杂度。
这种自底向上方式就是动态规划。（ps：自顶向上不等于动态规划）
整个过程，我们就用了一个额外数组dp,和一个for循环，那么很容易得到时间复杂度为
这对指数级别的时间复杂度，在N比较大的情况下，就是降维打击啊。
可能有人有疑问了，我如果对递归用了备忘录优化，不是可以达到一样的效果吗？这样的话动态规划有什么优势呢？
年轻人别急嘛，动态规划没那么简单，当然掌握核心思想也不难。
我这只是举个例子，其实斐波那契数列没必要用动态规划，只是这个例子比较简单而已，刚好可以用来入门。
动态规划也不是用于解决这类问题的。
动态规划通常用来求解最优化问题,一般此类问题有很多的解，我们希望找到一个最优的解(比如最大值、最小值)。
注意我说的是我们找的解是一个最优解，而不是最优解，因为一个问题可能有多个解都是最优解。
是不是有点难以理解？那我举个例子：
比如，我有100米的钢材，可以切成不同的长度出售，不同长度价格不同。
就像图中划分那样，如果我们要赚最多钱，怎么卖比较好呢？
这个时候你用备忘录就很难做了吧。（ps:也是能做的）
钢材.png
怎样，没头绪了吧，别急用动态规划就很容易做这类题目，至于怎么做，且听下回分解。
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