高等代数理论基础65：子空间

2019-04-15 本文已影响2人溺于恐

子空间

正交

定义：设 $V_1,V_2$ 是欧式空间V中两个子空间,若 $\forall \alpha\in V_1,\beta\in V_2$ ,有 $(\alpha,\beta)=0$ ,则称 $V_1,V_2$ 正交,记作 $V_1\perp V_2$

若向量 $\alpha$ , $\forall \beta\in V_1$ ,有 $(\alpha,\beta)=0$ ,则称 $\alpha$ 与子空间 $V_1$ 正交,记作 $\alpha\perp V_1$

注：

1.只有零向量与它自身正交

2. $V_1\perp V_2\Rightarrow V_1\cap V_2=\{0\}$

3. $\alpha\perp V_1,\alpha\in V_1\Rightarrow \alpha=0$

定理：若子空间 $V_1,V_2,\cdots,V_s$ 两两正交,则 $V_1+V_2+\cdots+V_s$ 是直和

证明：

$设\alpha_i\in V_i,i=1,2,\cdots,s$

$且\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s=0$

$下证\alpha_i=0$

$\alpha_i与等式两边作内积,由正交性$

$(\alpha_i,\alpha_i)=0(i=1,2,\cdots,s)$

$即V_1+V_2+\cdots+V_s是直和\qquad\mathcal{Q.E.D}$

正交补

定义：给定子空间 $V_1,V_2$ ,若 $V_1\perp V_2$ ,且 $V_1+V_2=V$ ,则称 $V_2$ 为 $V_1$ 的一个正交补

注：

1.若 $V_2$ 是 $V_1$ 的正交补,则 $V_1$ 也是 $V_2$ 的正交补

2. $V_1$ 的正交补记作 $V_1^{\perp}$ , $dim(V_1)+dim(V_1^{\perp})=n$

定理：n维欧氏空间V的每一个子空间 $V_1$ 都有唯一的正交补

证明：

$若V_1=\{0\}$

$则它的正交补即V,唯一性显然$

$设V_1\neq \{0\}$

$欧氏空间的子空间在所定义的内积下也是一个欧氏空间$

$在V_1中取一组正交基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_m$

$可扩充成V的一组正交基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_m,\varepsilon_{m+1},\cdots,\varepsilon_n$

$显然,子空间L(\varepsilon_{m+1},\cdots,\varepsilon_n)即V_1的正交补$

$下证唯一性$

$设V_2,V_3都是V_1的正交补$

$则V=V_1\oplus V_2$

$V=V_1\oplus V_3$

$令\alpha\in V_2$

$则\alpha=\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1\in V_1,\alpha_3\in V_3$

$\because \alpha\perp \alpha_1$

$\therefore (\alpha,\alpha_1)=(\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1)=(\alpha_1,\alpha_1)+(\alpha_3,\alpha_1)$

$=(\alpha_1,\alpha_1)=0$

$即\alpha_1=0$

$\therefore \alpha\in V_3,即V_2\subset V_3$

$同理可证V_3\subset V_2$

$\therefore V_2=V_3\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论： $V_1^{\perp}$ 恰由所有与 $V_1$ 正交的向量组成

内射影

$V=V_1\oplus V_1^{\perp}$ ,故 $V$ 中任一向量 $\alpha$ 都可唯一分解成 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ , $\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_1^{\perp}$

称 $\alpha_1$ 为 $\alpha$ 在子空间 $V_1$ 上的内射影

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