数学建模：传染病模型

2022-04-08 本文已影响0人 Cache_wood

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传染病模型

SI模型

假设考察地区的总人数N基本保持不变，时刻t(单位：天)的易感染者(susceptible)和已感染者(infective)的比例分别为s(t)和i(t)。设易感者每天被感染的几率，即感染率，为𝝀。
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{di}{dt} =\lambda si\\ s+i=1\\ i(0) =i_0 \end {array}\right.\\ i(t) = \frac{1}{1+\frac{1-i_0}{i_0}e^{-rt}}$

SIS模型

有些传染病，如伤风、痢疾等，治愈后基本上没有免疫力，于是患者愈合后又变成易感染者。假设每天被治愈的人数比例，即治愈率，为𝝁。
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{di}{dt} =\lambda si- \mu i\\ s+i=1\\ i(0) =i_0 \end {array}\right.\\ i(t) = \frac{\lambda - \mu}{\lambda+\frac{\lambda - \mu-\lambda i_0}{i_0}e^{-(\lambda-\mu)t}}$

SIR模型

然而，天花、麻疹等传染病的患者治愈后免疫力很强，这类患者治愈后不会成为易感染者。将治愈者和因感染死亡的人称为移除者(removed)。设时刻t的移除比例为r(t)。
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{di}{dt} =\lambda si- \mu i\\ \frac{ds}{dt} = -\lambda si\\ \frac{dr}{dt} = \mu i\\ s+i+r = 1\\ i(0) =i_0 \end {array}\right.\\$

参数时变时的SIR模型
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{di(t)}{dt} =\lambda(t) s(t)i(t)- \mu(t) i(t)\\ \frac{ds(t)}{dt} = -\lambda(t) s(t)i(t)\\ \frac{dr(t)}{dt} = \mu(t) i(t)\\ s(t)+i(t)+r(t) = 1\\ i(0) =i_0\\ s(0) = s_0\\ \lambda(0) = \lambda_0\\ \mu(0) = \mu_0 \end {array}\right.\\$

数学建模：传染病模型

传染病模型

SI模型

SIS模型

SIR模型

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