回顾与展望3

微分几何讲义，我最开始接触的就是这本书了。还真是怀念啊，虽然什么都不懂，确是充满热情，享受求知的快乐。正交变换，刚体运动，活动标架，向量分析。每一块都得花很大的精力去弄明白。不过，结果是不太好，基础太差，就像看天书一样，不得不放弃。但是，这确实是一个标志性的事件，我开始接触互联网上的学习资源，这是对传统教育的一次突破。事实也证明了，这条路的正确性，学校教育内容陈旧，疲于应试，老师不能讲的深，学生不能学的深。整套课程下来，不过是浮于表面，将一个内容丰富的领域缩减为几个知识点。互联网的作用还会慢慢体现，开放和共享的精神虽然被抑制，但仍广泛存在，只是要花更多的精力。这些暂且不提，这几天重新看微分几何。稍微谈一谈，因为还在学习中，也只能说是一点感受。

之前，我认为微分几何是很难学的，因为这个课程有明显的阶段划分，传统的就是曲线和曲面，一般就是向量分析那一套，近代的是微分流形，变得很难懂，各种概念，十分复杂，就像一个大杂烩，又是拓扑，又是微分，还有向量，入门很有难度。现在回过头来看，发现，这门课不能直接学习流形，而是要从传统微分几何看起，提供一个直观背景。由于之前感觉传统的没什么东西，所以跳过去了，导致了这种局面。所以还得补回来。

曲线，或者说三维曲线，对于满足了条件，正则，无驻留点，也就是参数方程的一阶和二阶导数处处不为零，就可以用所谓的法奈特标架来描述，对应切向，法向和满足右手系的副法向，可以用切向量，曲率，挠率来描述。这个体系就构成了对曲线的完备描述。对于曲面，也有类似的手段，毕竟曲面可以视为由两组曲线交织而成的，就像织布一样，纵横交错，就从线变成了面，于是对于曲面，可以分解为两组曲线，每组曲线又可以通过上面的活动标架法来完全确定。从而，对于性质良好的曲面也可以描述了。这中间还有一些新的性质，曲面是可定义面积的，于是就有了曲面的第一基本形式，对于面积的定义，面积不会随着坐标系的变化而变化，他是几何不变量，是与坐标无关的。这一性质实际上引出了张量的概念，张量就是在坐标变换下保持不变的量。所以，数学是有历史的，每个概念都不是凭空而来的，还是要按照认识规律来学习比较好。对于曲面的参数化，会产生一些问题，我们熟悉的坐标系一般都是正交系，也就是欧式空间的直角坐标系。但是，当考虑一些特殊的曲面时，不能划分为正交网格，比如球面，这个时候该怎么办呢？于是，引出了微分流形的概念，当我们不能用一个正交坐标系来描述整体，那就把曲面划分成许多块，在每一块上用正交坐标系来描述。这个想法经过抽象，就变成了微分流形的概念。通过把曲面转化为开集覆盖，在每个开集上通过同胚定义欧式空间的正交系，再满足一些要求，比如相容性，就可以在大范围，整体的角度来探讨曲面的性质了。于是，完成了传统到近代的转变。至于现代是什么还不清楚，但处理的对象应该更加普遍了。

于是，整个过程清楚了，学习的路径也就清楚了。至少不会在问流形是什么，这种不成熟的问题了。至于展望，现在还在学习中，不太清楚，但是，或许可以接触一些高端的名词，像什么纤维从，李群，黎曼几何，都不再是传说中的存在了，现在可以看到一条通往他们的路径，虽然道路依然艰难。