导数与微分

2019-05-10 本文已影响0人微斯人_吾谁与归

导数与微分

一.导数的概念

1.导数概念

导数定义：设函数f(x)在 $x_0$ 的某领域内有定义，若极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ 存在，称f(x)在点 $x_0$ 处可导。可改写为 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，若极限不存在，则函数在此点不可导。
有限增量公式： $\Delta y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x+o(\Delta x)$
左右导数：设函数y=f(x)在点 $x_0$ 的某右领域 $\left[x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 内有定义，若右极限 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \quad(0<\Delta x<\delta)$ 存在，则称该极限值为f(x)在 $x_0$ 处右导数，记作 $f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)$ ，同理可得 $f^{\prime}-\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$
可导与连续的关系定理：若函数f(x)在处可导，则f(x)在处连续，若函数f(x)在处连续，则f(x)在处不一定可导。
- eg:f(x)=|x|在x=0处连续但是不可导。
导数与左右导数关系定理:若函数f(x)在 $x_0$ 的某领域内有定义，f'( $x_0$ )存在的充分必要条件是左右导数存在且相等。
几个常见规律：
- 若f(x)在x=a处可导，|f(x)|在x=a处一定连续，|f(x)|在x=a处却不一定可导。如f(x)=x在x=0处
- 函数可导与函数连续可导不同，可导是指导函数存在，连续可导是指，导函数存在且连续。