N分之一律

2018-11-11 本文已影响12人 ianwest

有一个非常重要的定量规律，所谓 $1/\sqrt N$ 律，这是一个关于物理学定律的不准确度的期望。首先我们举一具体例子：在一定的压力P和温度T下，某气体具有一定的密度n，或者说在此条件下，某气体的单位体积内正好有N个气体分子。假使我们能够在某一瞬间进行检验，你将会发现这个说法是不准确的，因为存在着偏差，这个偏差就是 $1/\sqrt N$ 的量级。比如N=100，偏差（ $\Delta N$ ）大约是10（ $\frac{1}{\sqrt{100}}$ ），相对误差（ $\Delta N / N$ ）为10%。如果N=1000000（ $1 \times 10^6$ ），偏差（ $\Delta N$ ）大约是1000，相对误差为0.1%（ $\Delta N / N = 10^{-3}$ ）。

这个统计规律是普遍成立的，物理学和物理化学的定律并不是无限精确的，存在一定的相对误差，这个相对误差的范围在 $1/ \sqrt N$ 内。这里的N是指在理论和实验的研究中，为了在一定的时间空间范围内使该定律生效而必须考虑的参与分子的数目。

因此我们可以看出，有机体内的内在生命以及它同外部世界的相互作用，都能被精确的定律所概述，但这个前提是它自身必须有一个巨大的结构。如果没有足够的空间结构，参与合作的分子数目太少的话，“ $1/\sqrt N$ 定律”也就不准确了。尤其要注意的是这个定律出现了平方根。比如说虽然100万是个巨大的数目，但其精确性就只有千分之一。这样的精确度对于一条自然定律来说是远远不够的。

以上摘自薛定谔的《生命是什么》，第一章。 $1/ \sqrt N$ 律可概况为涨落正比于 $1/ \sqrt N$ ：

$\delta \propto 1/\sqrt N$

随机行走

我们可以用随机行走（random walk）来定量地证明 $1/\sqrt N$ 律。假设有一个醉汉，他走出的任何两步之间都没有相互关联，即没法通过第i步，推测其第j步怎么走，但醉汉走出的每一步大小都是相同的，假设都是r，随机的只是迈步的方向。

假设醉汉由原点出发，走了N步，最后到达的位置用向量 $\vec R$ 表示：

$\vec R = \sum\limits_{i = 1}^N \vec r_i$

最终的 $\vec R$ 可以是任意方向的，所以 $\vec R$ 的期望值是零：

$\left\langle \vec R \right\rangle = 0$

我们关心的是 $\vec R$ 的大小：

$|\vec R| = \sqrt{\vec R \cdot \vec R}$

这里：

$\vec R \cdot \vec R =\left( \sum_i \vec r_i \right) \cdot \left( \sum_j \vec r_j \right) = \sum_i \vec r_i \cdot \vec r_i + \sum_{i \neq j} \vec r_i \cdot \vec r_j$