积分题6

2020-12-10 本文已影响0人 Raow1

求积分： $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x \sin x}{\cos^3 x}\mathrm dx$
$\begin{align*} \int\frac{x \sin x}{\cos^3 x}\mathrm dx &= \int x\tan x \mathrm d{\tan x} \\ &= x\tan^2 x - \int \tan x (\tan x + x\sec^2 x) \mathrm dx \\ &= x\tan^2 x - \int \tan^2 x \mathrm dx - \int\frac{x \sin x}{\cos^3 x}\mathrm dx \\ \end{align*}$
所以，
$\begin{align*} \int\frac{x \sin x}{\cos^3 x}\mathrm dx &= \frac{1}{2} (x \tan^2 x - \int \tan^2 x \mathrm d x ) \\ &= \frac{1}{2} (x \tan^2 x - \int \frac{1- \cos^2 x}{\cos^2 x}\mathrm dx) \\ &= \frac{1}{2} [(x \tan^2 x - (\tan x - x + C)] \\ \end{align*}$
所以， $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x \sin x}{\cos^3 x}\mathrm dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

积分题6

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